Question

已知x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²-2（k+1）x+k²-3=0的兩實根，
（1）求k的取值范圍；
（2）若（x₁+1）（x₂+1）=8，求k的值．

Answer 1

解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²-3=0有兩實根，
∴△=[-（2k+1）]²-4×1×（k²-3）≥0，
解得：k≥-；

（2）由已知定理得：x₁x₂=k²-3，x₁+x₂=2（k+1）．
∴（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=k²-3+2（k+1）+1=8．
即k²+2k-8=0，
解得：k₁=2，k₂=-4．
∵k≥-，
∴k=-4舍去．
∴k的值為2．
分析：（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²-3=0有兩實根可得△=b²-4ac≥0，代入數(shù)值解不等式即可；
（2）由題意設(shè)方程x²-2（k+1）x+k²-3=0兩根為x₁，x₂，得x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=k²-3，再根據(jù)（x₁+1）（x₂+1）=8，得出k²+2k-8=0，求出k的值即可．
點評：此題主要考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件和有關(guān)公式列出方程和不等式．