Question

函數(shù)y=

4

x

和y=

1

x

在第一象限內(nèi)的圖象如圖，點(diǎn)P是y=

4

x

的圖象上一動(dòng)點(diǎn)，PC⊥x軸于點(diǎn)C，交y=

1

x

的圖象于點(diǎn)B．給出如下結(jié)論：①△ODB與△OCA的面積相等；②PA與PB始終相等；③四邊形PAOB的面積大小不會(huì)發(fā)生變化；④CA=

1

3

AP．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：①由A、B都在y=

1

x

的圖象上，根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，可以直接得出結(jié)果；
②只有當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）時(shí)，PA與PB才相等；
③由四邊形PAOB的面積=矩形OCPD的面積-△ODB的面積-△OCA的面積．根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，可知△ODB、△OCA、矩形OCPD的面積都是常數(shù)，所以四邊形PAOB的面積大小不會(huì)發(fā)生變化；
④根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，可知△OPC面積等于2，△OCA的面積等于

1

2

，又同底（OC作底）的兩個(gè)三角形的面積比等于它們的高的比，得出AC：PC=1：4，所以CA=

1

3

AP．

解答：解：①因點(diǎn)A和B都在反比例函數(shù)y=

1

x

的圖象上，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可知，△ODB與△OCA的面積都等于

1

2

，正確；
②由圖的直觀性可知，P點(diǎn)至上而下運(yùn)動(dòng)時(shí)，PB在逐漸增大，而PA在逐漸減小，錯(cuò)誤；
③因△ODB與△OCA的面積都等于

1

2

，它們面積之和始終等于1，而矩形OCPD面積始終等于4，所以四邊形PAOB的面積始終等于3，即大小不會(huì)發(fā)生變化，正確；
④連接OP，△OPC面積始終等于2，△OCA的面積都等于

1

2

，因它們同底（OC作底），所以它們面積的比等于高AC與PC的比，即AC：PC=1：4，所以CA=

1

3

AP，正確．
故正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義．過(guò)雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積等于|k|；反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S=

1

2

|k|．該知識(shí)點(diǎn)是中考的重要考點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)高度關(guān)注．