Question

如圖，已知△ABC內接于圓O，AB是直徑，D是AC弧上的點，BD交AC于E，AB=5，sin∠CAB=．
（1）設CE=m，，試用含m的代數(shù)式表示k；
（2）當AD∥OC時，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵AB=5，sin∠CAB=．
∴BC=3，AC=4，
∵CE=m，
∴AE=4-m，
∵∠DAE=∠DBC，
∴=，即=，即DE=，
∵=k，
∴=k，即BE²=，
在Rt△BCE中，BC²+CE²=BE²，即3²+m²=，
∴k=；

（2）∵AD∥OC
∴∠DAC=∠ACO
∵∠DAC=∠DBC
∴∠ACO=∠DBC
∵OA=OC
∴∠BAC=∠ACO
∴∠BAC=∠DBC
∵∠ACB=∠BCE
∴△ACB∽△BCE
∴=
∴CE=BC×
∵BC=3 AC=4
∴CE=，即m=．
分析：（1）先根據圓周角定理及直角三角形的性質求出AC及BC的長，再由CE=m可知AE=4-m，由∠DAE=∠DBC可得出DE=，代入=k即可用k、m表示出BE的長，再根據△ABC是直角三角形根據勾股定理即可用m表示出k；
（2）由AD∥OC得出∠DAC=∠ACO，根據∠DAC=∠DBC，可知∠ACO=∠DBC，由OA=OC可知∠BAC=∠ACO，故∠BAC=∠DBC
由相似三角形的判定定理得出△ACB∽△BCE，根據相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，根據題意作出輔助線，構造出全等三角形是解答此題的關鍵．