Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm．動點P、Q都從點C出發(fā)，點P沿C→B方向做勻速運動，點Q沿C→D→A方向做勻速運動，當P、Q其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．
（1）求CD的長；
（2）若點P以1cm/s速度運動，點Q以2cm/s的速度運動，連接BQ、PQ，設△BQP面積為S（cm²），點P、Q運動的時間為t（s），求S與t的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）若點P的速度仍是1cm/s，點Q的速度為acm/s，要使在運動過程中出現(xiàn)PQ∥DC，請你直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）過D點作DH⊥BC，垂足為點H，則有DH=AB=8cm，BH=AD=6cm．
∴CH=BC-BH=14-6=8cm．
在Rt△DCH中，∠DHC=90°，
∴CD==8cm．

（2）當點P、Q運動的時間為t（s），則PC=t．
①當點Q在CD上時，過Q點作QG⊥BC，垂足為點G，則QC=2•t．
又∵DH=HC，DH⊥BC，
∴∠C=45°．
∴在Rt△QCG中，QG=QC•sin∠C=2t×sin45°=2t．
又∵BP=BC-PC=14-t，
∴S_△BPQ=BP×QG=（14-t）×2t=14t-t²．
當Q運動到D點時所需要的時間t===4．
∴S=14t-t²（0＜t≤4）．
②當點Q在DA上時，過Q點作QG⊥BC，垂足為點G，
則：QG=AB=8cm，BP=BC-PC=14-t，
∴S_△BPQ=BP×QG=（14-t）×8=56-4t．
當Q運動到A點時所需要的時間t===4+．
∴S=56-4t（4＜t≤4+）．
綜合上述：所求的函數(shù)關系式是：
S=14t-t²（0＜t≤4），
S=56-4t（4＜t≤4+）；

（3）要使運動過程中出現(xiàn)PQ∥DC，
∵AD∥BC，∴CPQD是平行四邊形，
∴CP=DQ，
1•t=at-8，
∴t=①，
又∵Q點在AD邊上，
∴＜t≤②，
把①代入②，解得a≥1+．
故a的取值范圍是a≥1+．
分析：（1）過D點作DH⊥BC，垂足為點H，則在Rt△DCH中，由DH、CH的長度，運用勾股定理即可求出CD的長；
（2）由于點P在線段CB上運動，而點Q沿C→D→A方向做勻速運動，所以分兩種情況討論：①點Q在CD上；②點Q在DA上．針對每一種情況，都可以過Q點作QG⊥BC于G．由于點P、Q運動的時間為t（s），可用含t的代數(shù)式分別表示BP、QG的長度，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出S與t的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）令DQ=CP，Q點在AD邊上，求出a的取值范圍．
點評：本題考查了動點與圖形面積問題，需要通過題目的條件，分類討論，利用特殊三角形，梯形的面積公式進行計算．