Question

【題目】如圖，已知，且，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），，分別平分和．交射線于點(diǎn)，．

（1）求的度數(shù)；

（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到使時，求的度數(shù)；

（3）在點(diǎn)運(yùn)動過程中，與之間是否存在一定數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；若不存在，請舉出反例．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），理由見解析．

【解析】

（1）由平行線的性質(zhì)可求得∠APM=130°，再根據(jù)角平分線的定義和整體思想可求得∠BPD的度數(shù)；
（2）由平行線的性質(zhì)可得到∠PBA=∠BPM，由已知得出∠BPM=∠APD，得出∠APB=∠MPD，由（1）得：∠APM=130°，∠BPD=65°，即可得出∠APB=∠MPD=×65°=32.5°；
（3）由平行線的性質(zhì)得出∠ACP=∠CPM，∠ADP=∠DPM，由角平分線定義得出∠CPM=2∠DPM，即可得出∠PCA=2∠PDA．

解：（1）∵PM∥AN，
∴∠A+∠APM=180°，
∵∠A=50°，
∴∠APM=130°，
∵PB，PD分別平分∠APC和∠MPC，
∴∠BPC=∠APC，∠DPC=∠MPC，
∴∠BPD=∠BPC+∠DPC=（∠APC+∠MPC）=×130°=65°；
（2）∵PM∥AN，
∴∠PBA=∠BPM，
∵∠PBA=∠APD，
∴∠BPM=∠APD，
∴∠APB=∠MPD，
由（1）得：∠APM=130°，∠BPD=65°，
∴∠APB=∠MPD=×65°=32.5°；
（3）存在，∠PCA=2∠PDA，理由如下：
∵PM∥AN，
∴∠ACP=∠CPM，∠PDA=∠DPM，
∵PD平分∠MPC，
∴∠CPM=2∠DPM，
∴∠PCA=2∠PDA．