Question

如圖，在四邊形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°；延長CD到點E，連接AE，使得．
（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
（2）若DC=12，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）可證明AB∥ED，AE∥BD，即可證明四邊形ABDE是平行四邊形；由∠ABC=120°，∠C=60°，得AB∥ED；∠E=∠C=∠BDC=30°，得AE∥BD；
（2）可證得四邊形ABCD是等腰梯形，AD=BC，易證△BDC是直角三角形，可得BC=DC=6．
解答：（1）證明：∵∠ABC=120°，∠C=60°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥DC，即AB∥ED；
又∠C=60°，∠E=∠C，∠BDC=30°，
∴∠E=∠BDC=30°，
∴AE∥BD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）解：∵AB∥DC，
∴四邊形ABCD是梯形，
∵DB平分∠ADC，∠BDC=30°，
∴∠ADC=∠BCD=60°，
∴四邊形ABCD是等腰梯形；
∴BC=AD，
∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°，
∴∠DBC=90°，
又DC=12，
∴AD=BC=DC=6．
點評：本題考查的知識點較多，有等腰梯形、直角三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，只有牢記這些知識才能熟練運用．