Question

如圖，一次函數(shù)y₁=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y2=

k

x

的圖象交于A，B兩點，已知OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

，點B的坐標為（-

3

2

，m）
（1）求反比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式；
（2）觀察圖象，直接寫出使函數(shù)值y₁＜y₂成立的自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠AOC的正切值，可設出點A的坐標，利用OA的長結合勾股定理可確定點A的坐標，進而可確定反比例函數(shù)的解析式；然后將B點坐標代入，即可得到點B的坐標，即可利用待定系數(shù)法求得直線的解析式．
（2）結合兩個函數(shù)的圖象及A、B的坐標即可判斷出y₁＜y₂成立的自變量x的取值范圍．

解答：解：（1）過點A作AD⊥x軸于D；
∵tan∠AOC=

1

3

，
∴在Rt△AOD中，tan∠AOC=

AD

OD

，
∴

AD

OD

=

1

3

，
設AD=n，OD=3n（其中n＞0）；
∴在Rt△AOD中，AO=

AD2+OD2

=

n2+(3n)2

=

10

n，
又∵OA=

10

，
∴

10

=

10

n，
∴n=1，
∴3n=3，
∴A（3，1）；（2分）
將A（3，1）代入反比例函數(shù)y2=

k

x

中，
∴1=

k

3

，
∴k=3，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

3

x

；（4分）
將B（-

3

2

，m）代入y=

3

x

中，
∴m=

3

- 3 2

=-2，
∴B（-

3

2

，-2）；（6分）
將A（3，1），B（-

3

2

，-2）代入y₁=ax+b中，
得

1=3a+b -2=- 3 2 a+b

解之得

a= 2 3 b=-1

，
∴y1=

2

3

x-1．（8分）

（2）由圖象知，當x＜-

3

2

或0＜x＜3時，y₁＜y₂．（10分）

點評：此題主要考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法以及根據(jù)函數(shù)圖象來比較函數(shù)值大小的方法，同時還涉及到解直角三角形的應用，難度適中．