Question

如圖12，在直角坐標系中，已知點的坐標為（1,0），將線段繞原點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45，再將其延長到，使得，得到線段；又將線段繞原點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45，再將其延長到，使得，得到線段，如此下去，得到線段，，…，．

（1）寫出點M₅的坐標；（4分）

（2）求的周長；（4分）

（3）我們規(guī)定：把點（0,1,2,3…）的橫坐標，縱坐標都取絕對值后得到的新坐標

稱之為點的“絕對坐標”．根據(jù)圖中點的分布規(guī)律，請你猜想點的“絕對坐標”，并寫出來．（4分）

Answer 1

（1）M₅（—4，—4）

（2）由規(guī)律可知，,，

    ∴的周長是

（3）解法一：由題意知，旋轉(zhuǎn)8次之后回到軸的正半軸，在這8次旋轉(zhuǎn)中，點分別落在坐標象限的分角線上或軸或軸上，但各點“絕對坐標”的橫、縱坐標均為非負數(shù)，因此，點的“絕對坐標”可分三類情況：

令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為

①     當點M在x軸上時: M₀（），M₄（），M₈（），M₁₂（）,…，

即：點的“絕對坐標”為（）。

當點M在y軸上時: M₂，M₆，M₁₀，M₁₄,……，

即：點的“絕對坐標”為。

②     當點M在各象限的分角線上時：M₁，M₃，M₅，M₇,……，即：的“絕對坐標”為。

解法二：由題意知，旋轉(zhuǎn)8次之后回到軸的正半軸，在這8次旋轉(zhuǎn)中，點分別落在坐標象限的分角線上或軸或軸上，但各點“絕對坐標”的橫、縱坐標均為非負數(shù)，因此，各點的“絕對坐標”可分三種情況：

①當時（其中=0，1，2，3，…），點在軸上，則（）

②當時（其中=1，2，3，…），點在軸上，點（）

③當=1，2，3，…，時，點在各象限的分角線上，則點（）