Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，AC=CD，BD=．
（1）當(dāng)∠A為何值時(shí)，CD是⊙O的切線？請(qǐng)說明理由；
（2）在（1）的情況下，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含根號(hào)、π的式子表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，可用不同的方法證明，根據(jù)OA=OC，則∠A=∠C=30°，可求出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切線；
（2）可證明△BOC是等邊三角形，則∠OCB=60°，可得出∠BCD=∠D，由三角函數(shù)CD=OC•tan60°，得出CD的長(zhǎng)，因?yàn)镾_陰影=S_△OCD-S_扇形BOC，所以可得出答案．
解答：解：（1）當(dāng)∠A=30°時(shí)，CD是⊙O的切線．（1分）
理由：連接OC，如圖．
方法一：∵OA=OC，∴∠A=∠C=30°
∴∠COD=∠A+∠OCA=60°（2分）
又∵AC=CD，∴∠D=∠A=30°（3分）
∴∠OCD=180°-∠COD-∠D=90°
所以CD是⊙O的切線（4分）
方法二：∵CD是⊙O的切線
∴∠OCD=90°（2分）
∵AC=CD，∴∠D=∠A=30°（3分）
又∵OA=OC，∴∠COD=2∠A=2∠D
∴∠A=30°（4分）

（2）∵OB=OC，∠COD=60°，
∴△BOC是等邊三角形，∴∠OCB=60°
∴∠BCD=∠OCD-∠OCB=90°-60°（5分）
∴∠BCD=∠D
∴OC=BC=BD=（6分）．
CD=OC•tan60°=×=3．（7分）
∴S_陰影=S_△OCD-S_扇形BOC=××3-=-．（8分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定和性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算以及解直角三角形的內(nèi)容，比較簡(jiǎn)單要熟練掌握．