Question

如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：

（1）①請直接寫出圖1中線段BG、線段DE的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；

②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷．

（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4～6），且，試判斷（1）①中得到的結(jié)論哪個(gè)成立，哪個(gè)不成立？（寫出你的判斷，不必證明.）

（3）在圖5中，連結(jié)DG、BE，且，則　       　.

 

Answer 1

【答案】

（1）①BG=DE， BG⊥DE；②BG=DE， BG⊥DE仍然成立，證明見解析；（2）BG⊥DE成立，BG=DE不成立；（3）25．

【解析】

試題分析：（1）四邊形ABCD是正方形推出△BCG≌△DCE．然后得出∠DOH=90°，推出BG⊥DE；（2）依題意得出AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka的線段比例，然后再推出∠CDE+∠DHO=90°即可；（3）依題意得出BE²+DG²=BD²+GE²，從而可求解．

試題解析：（1）①BG=DE， BG⊥DE；（2）BG⊥DE成立，BG=DE不成立；（3）

②BG=DE， BG⊥DE仍然成立．對圖（2）的證明如下：

∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是正方形，∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°.∴∠BCG=∠DCE.

∵在△BCG與△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）. ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE.

又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHO=90°.∴∠DOH=90°.∴BG⊥DE．

（2）BG⊥DE成立，BG=DE不成立．簡要說明如下：

∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是矩形，且AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka（a≠b，k＞0），

∴，∠BCD=∠ECG=90°.∴∠BCG=∠DCE. ∴△BCG∽△DCE. ∴∠CBG=∠CDE.

又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHO=90°.∴∠DOH=90°.∴BG⊥DE．

（3）如圖，連接BD，F(xiàn)G，

∵BG⊥DE，∴OB²+OD²=BD²，OE²+OG²=GE²，OB²+OE²=BE²，OG²+OD²=DG².

∴BE²+DG²=OB²+OE²+OG²+OD²=BD²+GE².

又∵，∴BD²+GE²＝4²+2²+2²+1²＝25.

∴BE²+DG²＝25．

考點(diǎn)：1.動(dòng)點(diǎn)問題；2.正方形的性質(zhì)；3.矩形的性質(zhì)；4.全等三角形的判定和性質(zhì)；5.相似三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理．