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如圖1所示,已知拋物線y=﹣x2+4x+5的頂點為D,與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,E為對稱軸上的一點,連接CE,將線段CE繞點E按逆時針方向旋轉90°后,點C的對應點C′恰好落在y軸上.

(1)直接寫出D點和E點的坐標;

(2)點F為直線C′E與已知拋物線的一個交點,點H是拋物線上C與F之間的一個動點,若過點H作直線HG與y軸平行,且與直線C′E交于點G,設點H的橫坐標為m(0<m<4),那么當m為何值時,SHGF:SBGF=5:6?

(3)圖2所示的拋物線是由y=﹣x2+4x+5向右平移1個單位后得到的,點T(5,y)在拋物線上,點P是拋物線上O與T之間的任意一點,在線段OT上是否存在一點Q,使△PQT是等腰直角三角形?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.


 解:(1)∵拋物線y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9

∴D點的坐標是(2,9);

∵E為對稱軸上的一點,

∴點E的橫坐標是:﹣=2,

設點E的坐標是(2,m),點C′的坐標是(0,n),

∵將線段CE繞點E按逆時針方向旋轉90°后,點C的對應點C′恰好落在y軸上,

∴△CEC′是等腰直角三角形,

解得(舍去),

∴點E的坐標是(2,3),點C′的坐標是(0,1).

綜上,可得D點的坐標是(2,9),點E的坐標是(2,3).

(2)如圖1所示:

令拋物線y=﹣x2+4x+5的y=0得:x2﹣4x﹣5=0,

解得:x1=﹣1,x2=5,

所以點A(﹣1,0),B(5,0).

設直線C′E的解析式是y=kx+b,將E(2,3),C′(0,1),代入得,

解得:

∴直線C′E的解析式為y=x+1,

將y=x+1與y=﹣x2+4x+5,聯立得:,

解得:,

∴點F得坐標為(4,5),點A(﹣1,0)在直線C′E上.

∵直線C′E的解析式為y=x+1,

∴∠FAB=45°.

過點B、H分別作BN⊥AF、HM⊥AF,垂足分別為N、M.

∴∠HMN=90°,∠ADN=90°.

又∵∠NAD=∠HNM=45°.

∴△HGM∽△ABN

,

∵SHGF:SBGF=5:6,

,即

∴HG=5.

設點H的橫坐標為m,則點H的縱坐標為﹣m2+4m+5,則點G的坐標為(m,m+1),

∴﹣m2+4m+5﹣(m+1)=5.

解得:m1=,m2=

(3)由平移的規(guī)律可知:平移后拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4(x﹣1)+5=﹣x2+6x.

將x=5代入y=﹣x2+6x得:y=5,

∴點T的坐標為(5,5).

設直線OT的解析式為y=kx,將x=5,y=5代入得;k=1,

∴直線OT的解析式為y=x,

①如圖2所示:當PT∥x軸時,△PTQ為等腰直角三角形,

將y=5代入拋物線y=﹣x2+6x得:x2﹣6x+5=0,

解得:x1=1,x2=5.

∴點P的坐標為(1,5).

將x=1代入y=x得:y=1,

∴點Q的坐標為(1,1).

②如圖3所示:

由①可知:點P的坐標為(1,5).

∵△PTQ為等腰直角三角形,

∴點Q的橫坐標為3,

將x=3代入y=x得;y=3,

∴點Q得坐標為(3,3).

③如圖4所示:

設直線PT解析式為y=kx+b,

∵直線PT⊥QT,

∴k=﹣1.

將k=﹣1,x=5,y=5代入y=kx+b得:b=10,

∴直線PT的解析式為y=﹣x+10.

將y=﹣x+10與y=﹣x2+6x聯立得:x1=2,x2=5

∴點P的橫坐標為2.

將x=2代入y=x得,y=2,

∴點Q的坐標為(2,2).

綜上所述:點Q的坐標為(1,1)或(3,3)或(2,2).


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