如圖1所示,已知拋物線y=﹣x2+4x+5的頂點為D,與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,E為對稱軸上的一點,連接CE,將線段CE繞點E按逆時針方向旋轉90°后,點C的對應點C′恰好落在y軸上.
(1)直接寫出D點和E點的坐標;
(2)點F為直線C′E與已知拋物線的一個交點,點H是拋物線上C與F之間的一個動點,若過點H作直線HG與y軸平行,且與直線C′E交于點G,設點H的橫坐標為m(0<m<4),那么當m為何值時,S△HGF:S△BGF=5:6?
(3)圖2所示的拋物線是由y=﹣x2+4x+5向右平移1個單位后得到的,點T(5,y)在拋物線上,點P是拋物線上O與T之間的任意一點,在線段OT上是否存在一點Q,使△PQT是等腰直角三角形?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
解:(1)∵拋物線y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9
∴D點的坐標是(2,9);
∵E為對稱軸上的一點,
∴點E的橫坐標是:﹣=2,
設點E的坐標是(2,m),點C′的坐標是(0,n),
∵將線段CE繞點E按逆時針方向旋轉90°后,點C的對應點C′恰好落在y軸上,
∴△CEC′是等腰直角三角形,
∴
解得或
(舍去),
∴點E的坐標是(2,3),點C′的坐標是(0,1).
綜上,可得D點的坐標是(2,9),點E的坐標是(2,3).
(2)如圖1所示:
令拋物線y=﹣x2+4x+5的y=0得:x2﹣4x﹣5=0,
解得:x1=﹣1,x2=5,
所以點A(﹣1,0),B(5,0).
設直線C′E的解析式是y=kx+b,將E(2,3),C′(0,1),代入得,
解得:,
∴直線C′E的解析式為y=x+1,
將y=x+1與y=﹣x2+4x+5,聯立得:,
解得:,
,
∴點F得坐標為(4,5),點A(﹣1,0)在直線C′E上.
∵直線C′E的解析式為y=x+1,
∴∠FAB=45°.
過點B、H分別作BN⊥AF、HM⊥AF,垂足分別為N、M.
∴∠HMN=90°,∠ADN=90°.
又∵∠NAD=∠HNM=45°.
∴△HGM∽△ABN
∴,
∵S△HGF:S△BGF=5:6,
∴.
∴,即
,
∴HG=5.
設點H的橫坐標為m,則點H的縱坐標為﹣m2+4m+5,則點G的坐標為(m,m+1),
∴﹣m2+4m+5﹣(m+1)=5.
解得:m1=,m
2=
.
(3)由平移的規(guī)律可知:平移后拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4(x﹣1)+5=﹣x2+6x.
將x=5代入y=﹣x2+6x得:y=5,
∴點T的坐標為(5,5).
設直線OT的解析式為y=kx,將x=5,y=5代入得;k=1,
∴直線OT的解析式為y=x,
①如圖2所示:當PT∥x軸時,△PTQ為等腰直角三角形,
將y=5代入拋物線y=﹣x2+6x得:x2﹣6x+5=0,
解得:x1=1,x2=5.
∴點P的坐標為(1,5).
將x=1代入y=x得:y=1,
∴點Q的坐標為(1,1).
②如圖3所示:
由①可知:點P的坐標為(1,5).
∵△PTQ為等腰直角三角形,
∴點Q的橫坐標為3,
將x=3代入y=x得;y=3,
∴點Q得坐標為(3,3).
③如圖4所示:
設直線PT解析式為y=kx+b,
∵直線PT⊥QT,
∴k=﹣1.
將k=﹣1,x=5,y=5代入y=kx+b得:b=10,
∴直線PT的解析式為y=﹣x+10.
將y=﹣x+10與y=﹣x2+6x聯立得:x1=2,x2=5
∴點P的橫坐標為2.
將x=2代入y=x得,y=2,
∴點Q的坐標為(2,2).
綜上所述:點Q的坐標為(1,1)或(3,3)或(2,2).
科目:初中數學 來源: 題型:
學校抽查了30名學生參加“學雷鋒社會實踐”活動的次數,并根據數據繪制成了條形統計圖,則30名學生參加活動的平均次數是( �。�
A.2 B.2.8 C.3
D.3.3
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
如圖,△ABC各頂點的坐標分別是A(﹣2,﹣4),B(0,﹣4),C(1,﹣1).
(1)在圖中畫出△ABC向左平移3個單位后的△A1B1C1;
(2)在圖中畫出△ABC繞原點O逆時針旋轉90°后的△A2B2C2;
(3)在(2)的條件下,AC邊掃過的面積是 .
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
在市委宣傳部舉辦的以“弘揚社會主義核心價值觀”為主題的演講比賽中,其中10位參賽選手的成績如下:9.3;9.5;8.9;9.3;9.5;9.5;9.7;9.4;9.5,這組數據的眾數是
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
某校為了解學生對籃球、足球、排球、羽毛球、乒乓球這五種球類運動的喜愛情況,隨機抽取一部分學生進行問卷調查,統計整理并繪制了以下兩幅不完整的統計圖:
請根據以上統計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)共抽取名學生進行問卷調查;
(2)補全條形統計圖,求出扇形統計圖中“籃球”所對應的圓心角的度數;
(3)該校共有2500名學生,請估計全校學生喜歡足球運動的人數.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
已知直線l1∥l2,直線l3和直線l1、l2交于點C和D,在直線CD上有一點P.
(1)如果P點在C、D之間運動時,問∠PAC,∠APB,∠PBD有怎樣的數量關系?請說明理由.
(2)若點P在C、D兩點的外側運動時(P點與點C、D不重合),試探索∠PAC,∠APB,∠PBD之間的關系又是如何?(請直接寫出答案,不需要證明)
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com