Question

5．我市的重大惠民工程--公租房建設(shè)已陸續(xù)竣工，計(jì)劃10年內(nèi)解決低收入人群的住房問(wèn)題，前6年，每年竣工投入使用的公租房面積y（單位：百萬(wàn)平方米），與時(shí)間x的關(guān)系是y=-$\frac{1}{6}$x+5，（x單位：年，1≤x≤6且x為整數(shù)）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面積y（單位：百萬(wàn)平方米），與時(shí)間x的關(guān)系是y=-$\frac{1}{8}$x+$\frac{19}{4}$（x單位：年，7≤x≤10且x為整數(shù)）．假設(shè)每年的公租房全部出租完．另外，隨著物價(jià)上漲等因素的影響，每年的租金也隨之上調(diào)，預(yù)計(jì)，第x年投入使用的公租房的租金z（單位：元/m²）與時(shí)間x（單位：年，1≤x≤10且x為整數(shù)）滿足一次函數(shù)關(guān)系如表：

z（元/m2）	50	52	54	56	58	…
x（年）	1	2	3	4	5	…

（1）求出z與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求政府在第幾年投入的公租房收取的租金最多，最多為多少百萬(wàn)元．

Answer 1

分析 （1）表格中x的值每增加1，對(duì)應(yīng)z的值增加2，可知z是關(guān)于x的一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)收取的租金=公租房面積×公租房的租金，分別就1≤x≤6、7≤x≤10列出函數(shù)關(guān)系式，配方找到最大值，比較可得．

解答 解：（1）由題意，z與x是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)z=kx+b（k≠0）
把（1，50），（2，52）代入，得
∴$\left\{\begin{array}{l}k+b=50\\ 2k+b=52\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}k=2\\ b=48\end{array}\right.$
∴z=2x+48；            
（2）當(dāng)1≤x≤6時(shí)，設(shè)收取的租金為W₁百萬(wàn)元，則
W₁=（$-\frac{1}{6}x+5$）•（2x+48）
=$-\frac{1}{3}{x^2}+2x+240$
=$-\frac{1}{3}$（x-3）²+243，
∵-$\frac{1}{3}$＜0，
∴當(dāng)x=3時(shí)，W₁最大=243（百萬(wàn)元）；
當(dāng)7≤x≤10時(shí)，設(shè)收取的租金為W₂百萬(wàn)元，則
W₂=（$-\frac{1}{8}x+\frac{19}{4}$）•（2x+48）
=$-\frac{1}{4}{x^2}+\frac{7}{2}x+228$
=-$\frac{1}{4}$（x-7）²+$\frac{961}{4}$，
∵$-\frac{1}{4}$＜0，
∴當(dāng)x=7時(shí)，W₂最大=$\frac{961}{4}$（百萬(wàn)元），
∵243＞$\frac{961}{4}$，
∴第3年收取的租金最多，最多為243百萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能力，根據(jù)題意找到相等關(guān)系是根本，列出函數(shù)關(guān)系式并會(huì)求其最值是關(guān)鍵．