Question

20．某公司在固定線路上運輸，擬用運營指數(shù)Q量化考核司機的工作業(yè)績．Q=W+100，而W的大小與運輸次數(shù)n及平均速度x（km/h）有關（不考慮其他因素），W由兩部分的和組成：一部分與x的平方成正比，另一部分與x的n倍成正比．試行中得到了表中的數(shù)據(jù)．

次數(shù)n	2	1
速度x	40	60
指數(shù)Q	420	100

（1）用含x和n的式子表示Q；
（2）當x=70，Q=450時，求n的值；
（3）若n=3，要使Q最大，確定x的值；
（4）設n=2，x=40，能否在n增加m%（m＞0）同時x減少m%的情況下，而Q的值仍為420？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設W=k₁x²+k₂nx，則Q=W+100=k₁x²+k₂nx+100，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法即可得出結論；
（2）將x=70，Q=450代入（1）的關系式中求出n值即可；
（3）代入n=3，再利用二次函數(shù)的性質解決最值問題；
（4）假設存在，代入n=2，x=40，依據(jù)“在n增加m%（m＞0）同時x減少m%的情況下，而Q的值仍為420”，得出關于m的一元二次方程，解方程即可得出結論．

解答 解：（1）設W=k₁x²+k₂nx，則Q=W+100=k₁x²+k₂nx+100．
由表中數(shù)據(jù)，得$\left\{\begin{array}{l}{420=4{0}^{2}{k}_{1}+2×40{k}_{2}+100}\\{100=6{0}^{2}{k}_{1}+1×60{k}_{2}+100}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{10}}\\{{k}_{2}=6}\end{array}\right.$，
∴Q=-$\frac{1}{10}$x²+6nx+100．
（2）由題意得：450=-$\frac{1}{10}$×70²+6×70n+100，
解得：n=2．
（3）當n=3時，Q=-$\frac{1}{10}$x²+18x+100，
∵a=-$\frac{1}{10}$＜0，
∴當Q取最大值時，x=-$\frac{18}{2×（-\frac{1}{10}）}$=90．
答：若n=3，要使Q最大，x的值為90．
（4）假設能，由題意得：
420=-$\frac{1}{10}$[40（1-m%）]²+6×2（1+m%）×40（1-m%）+100，
即2（m%）²-m%=0，
解得：m%=$\frac{1}{2}$，或m%=0（舍去），
故：設n=2，x=40，能在n增加m%（m＞0）同時x減少m%的情況下，而Q的值仍為420，此時m的值為50．

點評 本題考查了二次函數(shù)的應用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關系式；（2）代入x=70，Q=450求n值；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質解決最值問題；（4）根據(jù)數(shù)量關系得出關于m的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)表格中給定數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關系式是關鍵．