如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=6,DE⊥DC交AB于E,DF平分∠EDC交BC于F,連接EF.求證:EF=CF.
(1)證明:如圖
過點D作BC的垂線,垂足為G
因為ABCD為直角梯形,∠A=90°
所以,∠B=90°
又DG⊥BC
所以,四邊形ABGD為矩形
已知AB=AD=6
所以,四邊形ABGD為正方形
所以,AD=GD…………………………………………………(1)
已知DE⊥DC
所以,∠EDC=90°
即,∠EDG+∠CDG=90°
而在正方形ABGD中,∠EDG+∠ADE=90°
所以,∠ADE=∠CDG…………………………………………(2)
又∠A=∠DGC=90°…………………………………………(3)
所以,由(1)(2)(3)知:Rt△DAE≌Rt△DGC(ASA)
所以,DE=DC
已知DF為∠EDC平分線,則:∠EDF=∠CDF
邊DF公共 邊
所以:△EDF≌△CDF(SAS)
所以,EF=CF
解析:過點D作BC的垂線,結(jié)合題中條件構(gòu)建出正方形,然后通過證明三角形全等證明線段相等。
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