Question

關于x的一元二次方程（m²-1）x²-2（m-2）x+1=0．
（1）當m為何值時，方程有兩個不相等的實數根；
（2）點A（-1，-1）是拋物線y=（m²-1）x²-2（m-2）x+1上的點，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若點B與點A關于拋物線的對稱軸對稱，是否存在與拋物線只交于點B的直線，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得，△=[-2（m-2）]²-4（m²-1）＞0，
解得，m＜，
又∵m²-1≠0，
解得，m≠±1；
當m＜且m≠±1時，方程有兩個不相等的實數根．

（2）由題意得，m²-1+2（m-2）+1=-1，
解得，m=-3，m=1（舍），
y=8x²+10x+1．

（3）拋物線的對稱軸是x=-，
由題意得，B（-，-1）；
x=-與拋物線有且只有一個交點B；
另設過點B的直線y=kx+b（k≠0），
把B（-，-1）代入y=kx+b，得-，
b=k-1，
y=kx+-1，
，
整理得，8x²+（10-k）x-k+2=0；
有且只有一個交點，△=，
解得，k=6，
y=6x+，
綜上，與拋物線有且只有一個交點B的直線的解析式有x=-，y=6x+．
分析：（1）首先列出方程的根的判別式，若方程有兩個相等的實數根，那么判別式必大于0，可據此求出m的取值范圍，需要注意的是，此方程式一元二次方程，二次項系數不等于0的條件不能丟．
（2）將點A的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出m的值，從而確定該拋物線的解析式．
（3）首先根據拋物線的對稱軸得到點B的坐標，然后分兩種情況考慮：①此直線過B點且與y軸平行，顯然這種情況符合題意；②若直線與y軸不平行，那么可根據點B的坐標設出該直線的解析式（只有一個未知系數），若此直線與拋物線只有一個交點，那么聯立直線和拋物線所得方程的根的判別式應該等于0，可據此確定直線的解析式．
點評：此題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系、根的判別式，函數圖象交點坐標的求法等知識，難度適中．