Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB交x軸于點(diǎn)A（a，0），交y軸于點(diǎn)B（0，b），且a、b滿足

a-4

+(b-2)2=0，直線y=x交AB于點(diǎn)M．
（1）求直線AB的解析式；
（2）過點(diǎn)M作MC⊥AB交y軸于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在直線y=x上是否存在一點(diǎn)D，使得S_△ABD=6？若存在，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a，b的值，利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式；
（2）先求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，過M點(diǎn)作MN⊥OA于點(diǎn)N，MP⊥OB于點(diǎn)P，由題設(shè)可證△MNA≌△MPC，△OMN≌△OMP，利用全等的性質(zhì)可分別求得CP的長，從而求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）先假設(shè)存在點(diǎn)D，設(shè)D（a，a），根據(jù)S_△ABD=6，列出關(guān)于a方程，若有解則存在，無解則不存在，要注意分兩種情況考慮．

解答：解：（1）∵

a-4

+(b-2)2=0
∴a-4=0，b-2=0
即a=4，b=2
∴A（4，0），B（0，2）
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A、B代入解析式得

4k+b=0 b=2

解得k=-

1

2

，b=2
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+2；

（2）由

y=- 1 2 x+2 y=x

，得
M（

4

3

，

4

3

)
如圖1，過M點(diǎn)作MN⊥OA于點(diǎn)N，MP⊥OB于點(diǎn)P
由點(diǎn)M的坐標(biāo)可知MN=MP，∠PMC=∠NMA，∠MPC=∠MNA=90°
∴△MNA≌△MPC，△OMN≌△OMP
則CP=AN，OP=ON=

4

3

而CP=AN=OA-ON=

8

3

故OC=

4

3

所以C（0，-

4

3

）；

（3）存在點(diǎn)D．
∵D在y=x上
∴設(shè)D（a，a）
①如圖2，若D在AB的下方
∵S_△AOB=4，S_△ABD=6
∴D在MO的延長線上
∴S_△AOD+S_△BOD+S_△AOB=S_△ABD
∴

1

2

（AO+BO）|a|+4=6，
∴-

1

2

×6a=2，
解得：a=-

2

3

，
∴D（-

2

3

，-

2

3

）
②若D在AB的上方同理求得D′（

10

3

，

10

3

），即D（-

2

3

，-

2

3

），D′（

10

3

，

10

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查平面直角坐標(biāo)系中圖形的面積的求法和點(diǎn)的坐標(biāo)在圖形中的幾何意義．解答此題的關(guān)鍵是會(huì)利用交點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得到有關(guān)的線段之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用三角形全等的知識(shí)和面積的求法進(jìn)行解題．