Question

已知點(diǎn)A（-1，n）（n＞0）和點(diǎn)B（2，3）在拋物線y₁=x²+bx+c上，點(diǎn)C（1，0）是x軸上一點(diǎn)，且CA+CB的值最�。�
（1）求拋物線y₁的解析式．
（2）左右平移拋物線y₁=ax²+bx+c，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)E（-1，0）和點(diǎn)F（-3，0）是x軸上兩個(gè)定點(diǎn)，問(wèn)是否存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′EF的周長(zhǎng)最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）平移拋物線y₁=ax²+bx+c得到y(tǒng)₂=（x-h）²，當(dāng)2＜x≤m時(shí)，有y₂≤x恒成立，當(dāng)m取最大值時(shí)，求h的值．

Answer 1

分析：（1）此題的關(guān)鍵是確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)，那么必須從CA+CB的值最小入手；解題思路和該類型題是一樣的，首先作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后求出過(guò)該對(duì)稱點(diǎn)C的直線，那么當(dāng)CA+CB值最小時(shí)，點(diǎn)A、C以及點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)必共線，所以將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上面所得的直線解析式中即可確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法來(lái)確定拋物線的解析式；
（2）拋物線平移時(shí)，點(diǎn)A′、B′平移的程度是相同的，那么先判斷一下平移的大致方向，然后用平移的距離表示出點(diǎn)A′、B′的坐標(biāo)，顯然在四邊形A′B′EF中，線段A′B′與線段EF的長(zhǎng)是一定的，當(dāng)這個(gè)四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，A′F+B′E的值最小，但這涉及到四個(gè)點(diǎn)，無(wú)法應(yīng)用（1）的解題思路，所以要對(duì)圖形做適當(dāng)處理；觀察圖形可知，EF=2，那么將點(diǎn)B′向左平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)B″，顯然四邊形B″B′EF是個(gè)平行四邊形，有B″F=B′E，所以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為A′F+B″F的值最小，這樣轉(zhuǎn)化為類似（1）的問(wèn)題，按（1）的思路來(lái)解即可；
（3）這個(gè)小題要結(jié)合函數(shù)的圖象來(lái)解，關(guān)鍵的問(wèn)題在于對(duì)“y₂≤x”，如果將上式看作簡(jiǎn)單的不等式，這道題將很難解出，所以可以將x看作一次函數(shù)，確定了這個(gè)思路后再進(jìn)一步進(jìn)行分析，首先設(shè) y₃=x（這是一個(gè)一次函數(shù)），那么y₂＜x可改為y₂＜y₃，在函數(shù)圖象上，可以理解為：在“2＜x≤m”區(qū)間內(nèi)，直線y₃的函數(shù)圖象在拋物線y₂的函數(shù)圖象上方，然后通過(guò)作圖不難判斷出m的最大值以及函數(shù)y₂經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，據(jù)此確定h的值．

解答：解：（1）取點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（2，-3）；
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，若CA+CB的值最小，那么點(diǎn)（2，-3）必在直線AC上，有：

2k+b=-3 k+b=0

，
解得

k=-3 b=3

故直線AC：y=-3x+3，則點(diǎn)A（-1，6）；
已知拋物線y₁=x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A、B，依題意，有：

1-b+c=6 4+2b+c=3

，
解得

b=-2 c=3

．
故拋物線y₁=x²-2x+3；

（2）①若拋物線向右平移，則有AF+BE＞A′F+B′E，所以不能向右平移．
②當(dāng)拋物線向左平移時(shí)，設(shè)平移后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A′為（-1-t，6），點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B′為（2-t，3）；（如右圖）
將點(diǎn)B?向左平移2個(gè)單位得點(diǎn)B″（-t，3），此時(shí)四邊形B″B′EF是平行四邊形，則 B′E=B″F；
四邊形A′B′EF中，A′B′、EF是定值，若四邊形A′B′EF的周長(zhǎng)最短，那么 A′F+B′E（即A′F+B′F）最�。�
同（1）的思路，取點(diǎn)A′關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A″為（-1-t，-6），則直線A″B″解析式為：y=9x+9t+3；
將點(diǎn)F（-3，0）代入直線A″B″的解析式中，得t=

8

3

；
則此時(shí)四邊形A′B′EF的周長(zhǎng)最小．
所以平移后的拋物線解析式為：y=(x-1+

8

3

)2+2，
即y=(x+

5

3

)2+2；

（3）令y₃=x，則y₂≤y₃；
如右圖，當(dāng)拋物線y₂左分支過(guò)點(diǎn)（2，2）時(shí)，拋物線y₂與直線y₃的另一交點(diǎn)橫坐標(biāo)則為m的最大值；
將點(diǎn)（2，2）代入y₂=（x-h）²，得：
（2-h）²=2，
解得：h₁=2+

2

，h₂=2-

2

（舍）；
則h=2+

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，該題主要涉及了：函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)以及兩點(diǎn)間線段最短的綜合應(yīng)用、利用函數(shù)圖象解不等式等重要知識(shí)；著重體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)際應(yīng)用．