Question

如圖，拋物線y=x²﹣2x+c的頂點(diǎn)A在直線l：y=x﹣5上．

（1）求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C．D（C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)），試判斷△ABD的形狀；

（3）在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、A．B．D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

解答：解：（1）∵頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x==1，且頂點(diǎn)A在y=x﹣5上，

∴當(dāng)x=1時(shí)，y=1﹣5=﹣4，

∴A（1，﹣4）．

（2）△ABD是直角三角形．

將A（1，﹣4）代入y=x²﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，

∴y=x²﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）

當(dāng)y=0時(shí)，x²﹣2x﹣3=0，x₁=﹣1，x₂=3

∴C（﹣1，0），D（3，0），

BD²=OB²+OD²=18，AB²=（4﹣3）²+1²=2，AD²=（3﹣1）²+4²=20，

BD²+AB²=AD²，

∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．

（3）存在．

由題意知：直線y=x﹣5交y軸于點(diǎn)A（0，﹣5），交x軸于點(diǎn)F（5，0）

∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3

∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形

∴BD∥l，即PA∥BD

則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖，

過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線并交于點(diǎn)C

設(shè)P（x₁，x₁﹣5），則G（1，x₁﹣5）

則PC=|1﹣x₁|，AG=|5﹣x₁﹣4|=|1﹣x₁|

PA=BD=3

由勾股定理得：

（1﹣x₁）²+（1﹣x₁）²=18，x₁²﹣2x₁﹣8=0，x₁=﹣2，4

∴P（﹣2，﹣7），P（4，﹣1）

存在點(diǎn)P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以點(diǎn)A．B．D．P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．