Question

如圖，點(diǎn)A是雙曲線y=（k＞0，x＞0）上一動(dòng)點(diǎn)，AD⊥y軸于D，延長(zhǎng)AD交雙曲線y=-（x＜0）于點(diǎn)B，BC∥y軸交x軸于E，交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①當(dāng)k=1時(shí)，四邊形AOEB的面積是4.5；
②當(dāng)△EOC的面積是4時(shí)，k=2；
③當(dāng)k一定時(shí)，BD：AD的值一定；
④當(dāng)點(diǎn)A離原點(diǎn)O最近時(shí)，且AO=OC，則OB=2．

A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：①根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，求出△AOD的面積與四邊形BEOD的面積，兩者相加就是四邊形AOEB的面積；
②求出當(dāng)k=2時(shí)的△EOC的面積，如果△EOC的面積等于4，則說明本題正確，否則錯(cuò)誤；
③當(dāng)k一定時(shí)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），然后表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可得到BD與AD的長(zhǎng)度，兩者相比即可判斷；
④點(diǎn)A離原點(diǎn)O最近時(shí)，也就是點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的時(shí)候，根據(jù)AO=OC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出AD=BD，從而得到k=2，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而也可以求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用勾股定理即可求出OB的長(zhǎng)度．
解答：解：①當(dāng)k=1時(shí)，S_△AOD=×AD•OD=×1=0.5，
∵點(diǎn)B在雙曲線y=-（x＜0）上，
∴S_{四邊形BEOD}=BE•OE=4，
∴S_{四邊形AOEB}=S_△AOD+S_{四邊形BEOD}=0.5+4=4.5，
故本小題正確；
②當(dāng)k=2時(shí)，S_△AOD=×AD•OD=×2=1，
∵兩雙曲線分別為y=，y=-，
∴AD：BD=2：4=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴S_△AOD：S_△ABC=（1：3）²=1：9，
∵S_△EOC=S_△ABC-S_{四邊形BEOD}-S_△AOD=1×9-4-1=4，
∴△EOC的面積是4時(shí)，k=2，
故本小題正確；
③設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），則b=，
∴a=，-=b，
解得x=-，
∴BD=|x|=，AD=a=，
∴BD：AD=：=4：k，
∵k一定時(shí)，
∴BD：AD的值一定；
故本小題正確；
④∵OD∥BC，AO=OC，
∴AD=BD，
∴k：|-4|=，
解得k=2，
點(diǎn)A離原點(diǎn)O最近時(shí)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，
∴設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，a），則=a，
解得a=，
∴=-，
解得x=-2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（-2，），
∴OB==≠2．
故本小題錯(cuò)誤．
所以說法正確的有①②③共3個(gè)．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，平行線成比例定理，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，難度較大，需要仔細(xì)分析，細(xì)心求解方可完成，對(duì)提高同學(xué)們的分析問題、解決問題的能力大有幫助．