Question

【題目】如圖四邊形，，，，，．動點從點出發(fā)，沿射線的方向以每秒的速度運動到點返回，動點從點出發(fā)，在線段上以每秒的速度向點運動，點，分別從點，同時出發(fā)，當點運動到點時，點停止運動，設運動時間為（秒）．

（1）當時，是否存在點，使四邊形是平行四邊形，若存在，求出值；若不存在，請說明理由；

（2）當為何值時，以，，，為頂點的四邊形面積等于；

（3）當時，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝3；（2）t＝；（3）t＝3或t＝．

【解析】

（1）當DQ＝CP時，四邊形PQDC是平行四邊形，根據CP＝153t，DQ＝122t建立方程求解即可；

（2）分兩種情況討論：①當點P是從點B向點C運動時，②當點P從點C返回點B時，分別利用梯形面積公式構建方程，求出時間t，再舍去不合題意的值即可；

（3）分三種情況討論：①當PQ＝PD時，②當PQ＝DQ時，③當DQ＝PD時，分別利用等腰三角形的性質及勾股定理列方程解答即可．

解：（1）∵AD∥BC

∴當DQ＝CP時，四邊形PQDC是平行四邊形，

當0＜t＜5時，點P從B運動到C，

∵DQ＝ADAQ＝122t，CP＝153t，

∴122t＝153t，

解得：t＝3，

∴t＝3時，四邊形PQDC是平行四邊形；

（2）分兩種情況討論：

①當點P是從點B向點C運動時，

∵CP＝153t，DQ＝122t，以C、D、Q、P為頂點的四邊形面積等于30cm2，

∴S四邊形CDQP＝ (DQ＋CP)AB＝30，即× (122t＋153t)×10＝30，

解得：t＝；

②當點P從點C返回點B時，

由運動知，DQ＝122t，CP＝3t15，

∴S四邊形CDQP＝ (DQ＋CP)AB＝30，即 (122t＋3t15)×10＝30，

解得：t＝9，

∵點Q到達點D的時間為12÷2＝6，

∴t＝9舍去，

∴當t為秒時，以C、D、Q、P為頂點的四邊形面積等于30cm2；

（3）分三種情況討論：

作PH⊥AD于H，

①當PQ＝PD時，則HQ＝HD，

∵QH＝HD＝DQ＝（122t）＝6t，

由AH＝BP，得：6t＋2t＝3t，

解得：t＝3；

②當PQ＝DQ時，

∵QH＝AHAQ＝BPAQ＝3t2t＝t，DQ＝122t，

∴PQ2＝QH2＋PH2＝t2＋102，

∵DQ2＝PQ2，

∴（122t）2＝t2＋102，

解得：t＝，

∵0＜t＜5，

∴t＝；

③當DQ＝PD時，

∵DH＝ADAH＝ADBP＝123t，DQ＝122t，

∴PD2＝PH2＋HD2＝102＋（123t）2，

∵DQ2＝PD2，

∴（122t）2＝102＋（123t）2，

整理得：5t224t＋100＝0，

∵△＜0，

∴方程無實根，即此情況不存在，

綜上可知，當t＝3秒或t＝秒時，△PQD是等腰三角形．