Question

如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=8，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O切CD于點(diǎn)E．
（1）若設(shè)AD=x，BC=y，試求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖2，BE的延長(zhǎng)線(xiàn)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．求證：AD=AF；
（3）如圖3，若AD=2，BC=8．動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，從點(diǎn)B沿線(xiàn)段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q以相同的速度，從點(diǎn)D沿折線(xiàn)D-A-B向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PM⊥BC與折線(xiàn)B-D-C的交點(diǎn)為M．點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否可以使得以D、M、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，若可以，請(qǐng)求出t的值；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)D作DF⊥BC于F，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到DE=DA=x，CE=CB=y，在Rt△DFC中，利用勾股定理即可得到x，y的關(guān)系；
（2）連AE，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠AEB=90°，而DA=DE，得到∠DAE=∠DEA，根據(jù)等角的余角相等得到∠F=∠DEF，則DE=EF，即可得到結(jié)論；
（3）分類(lèi)討論：當(dāng)0＜t≤2，當(dāng)AQ=BP時(shí)，∠MQD=90°；當(dāng)2＜t≤8，分若∠QDM=90°，或∠QMD=90°，或∠DQM=90°進(jìn)行討論，構(gòu)建三角形相似列出t的方程求解．
解答：（1）解：過(guò)D作DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴AD和BC為⊙O的切線(xiàn)，
而CD為⊙O的切線(xiàn)，
∴DE=DA=x，CE=CB=y，
而DF=AB=8，F(xiàn)C=y-x，
∴（x+y）²=8²+（x-y）²，
∴y=；

（2）證明：連AE，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
而DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
而∠DAE+∠F=∠DEA+∠DEF=90°，
∴∠F=∠DEF，
∴DE=DF，
∴AD=AF；

（3）解：當(dāng)0＜t≤2，
∵DQ=t，BP=t，
∴當(dāng)AQ=BP時(shí)，∠MQD=90°，
∴t+t=2，
∴t=1；
當(dāng)2＜t≤8，
若∠QDM=90°，如圖，
∴∠AQD=∠C，
∴Rt△AQD∽R(shí)t△PCM，
∴AD：PM=AQ：PC，即AD：AQ=PM：PC，
而PM：PC=DF：FC=8：6=4：3，
∵AQ=t-2，
∴2：（t-2）=4：3，
∴t=；
若∠QMD=90°，如圖，
過(guò)M作MH⊥AB，
∴∠HQM=∠C，
∴Rt△HQM∽R(shí)t△PCM，
∴MH：MP=HQ：PC，即HM：HQ=MP：PC，
∴HM：HQ=MP：PC=DF：FC=4：3，
PC=8-t，PM=（8-t），
而MH=t，QH=BH-BQ=（8-t）-（10-t）=-t，
∴t：（-t）=4：3，
∴t=＜2，舍去．
當(dāng)∠DQM=90°，如圖，
過(guò)M作MH⊥AB于H點(diǎn)，則PM=（8-t），MN=t，AQ=t-2，
∴QH=8-（t-2）-（8-t）=t-，
∴Rt△AQD∽R(shí)t△HMQ，
∴AD：QH=AQ：HM，即2：（t-）=（t-2）：t，
∴t²-10t+4=0，t=5±，
∴t=5+＞8（舍）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)；也考查了直角梯形的性質(zhì)和切線(xiàn)的性質(zhì)以及分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．