Question

在△ABC中，D為AB邊上一點，過點D作DE∥BC交AC于點E，以DE為折線，將△ADE翻折，設(shè)所得的△A′DE與梯形DBCE重疊部分的面積為y．
（1）如圖（甲），若∠C=90°，AB=10，BC=6，

AD

AB

=

1

3

，則y的值為

 

；
（2）如圖（乙），若AB=AC=10，BC=12，D為AB中點，則y的值為

 

；
（3）若∠B=30°，AB=10，BC=12，設(shè)AD=x．
①求y與x的函數(shù)解析式；
②y是否有最大值？若有，求出y的最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)已知條件得出AC的長，再根據(jù)DE∥BC得出△ADE∽△ABC，再根據(jù)面積之比等于相似比的平方即可求出結(jié)果．
（2）本題需先根據(jù)已知條件得出BC邊上的高的值和S_△ABC的值，再根據(jù)D為AB中點和DE∥BC，即可得出△ADE∽△ABC，最后根據(jù)面積之比等于相似比的平方即可求出結(jié)果；
（3）本題需先作AH⊥BC于點H，根據(jù)已知條件得出AH和S_△ABC的值，再分兩種情況0＜x≤5時和當(dāng)5＜x＜10進行討論，分別求出S△A′DE和S△MA′N的值，即可求出y的最大值．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8，
∴S_△ABC=

1

2

×6×8=24，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

S△ADE

S△ABC

=(

AD

AB

)2，
∴

S△ADE

24

=

1

9

，
∵S_△ADE=

8

3

，
∴y=

8

3

；

（2）∵AB=AC=10，BC=12，
∴BC邊上的高為8，
∴S_△ABC=

1

2

×12×8=48，
∵D為AB的中點，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，

AD

AB

=

1

2

，
∴

S△ADE

S△ABC

=(

AD

AB

)2，
∴

S△ADE

48

=

1

4

，
∴S_△ADE=12，
∴y=12；

（3）如圖，作AH⊥BC于點H，在Rt△ABH中，
∵∠B=30°，AB=10，BC=12，
∴AH=5，S_△ABC=

1

2

BC•AH=30．
當(dāng)點A′落在BC上時，點D是AB的中點，即x=5．
故分以下兩種情況討論：
①當(dāng)0＜x≤5時，如圖，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴

S△ADE

S△ABC

=(

AD

AB

)2=(

x

10

)2=

x2

100

．
∴S△A′DE=S△ADE=

x2

100

×30=

3

10

x2．即y=

3

10

x2．
∴當(dāng)x=5時，y最大=

3

10

×52=

15

2

．
②當(dāng)5＜x＜10時，如上圖，設(shè)DA′、EA′分別交BC于M、N．
由折疊知，△A′DE≌△ADE，
∴DA′=DA=x，∠1=∠2．
∵DE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3．
∴∠B=∠3．
∴DM=DB=10-x．
∴MA′=x-（10-x）=2x-10．
由①同理可得S△DA′E=

3

10

x2．又△MA′N∽△DA′E，
∴

S△MA′N

S△DA′E

=(

2x-10

x

)2．
∴S△MA′N=

3

10

x2•(

2x-10

x

)2=

6

5

(x-5)2．
∴y=S_△DA'E-S_△MA'N=-

9

10

x2+12x-30=-

9

10

(x-

20

3

)2+10．
∵二次項系數(shù)-

9

10

＜0，且當(dāng)x=

20

3

時，滿足5＜x＜10，
∴y_最大=10．
綜上所述，當(dāng)x=

20

3

時，y值最大，最大值是10．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有函數(shù)解析式的求法和求y的最大值，在求有關(guān)最大值問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．