Question

【題目】如圖，已知：在矩形ABCD中，O為AC的中點，直線l經(jīng)過點B，且直線l繞著點B旋轉，AM⊥l于點M，CN⊥l于點N，連接OM，ON

（1）當直線l經(jīng)過點D時，如圖1，則OM、ON的數(shù)量關系為 ；

（2）當直線l與線段CD交于點F時，如圖2（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；

（3）當直線l與線段DC的延長線交于點P時，請在圖3中作出符合條件的圖形，并判斷（1）中的結論是否仍然成立？不必說明理由．

Answer 1

【答案】（1）OM=ON；（2）結論仍然成立．（3）結論仍然成立．

【解析】

試題分析：（1）OM=ON；易證△AOM≌△CON，所以OM=ON；

（2）結論仍然成立．如答圖2，作輔助線，證明△AEO≌△CNO，得點O為Rt△MEN斜邊上的中點，所以OM=ON結論成立；

（3）結論仍然成立．與（2）同理．

試題解析：（1）OM=ON；如題圖1，

∵O為AC的中點，

∴OA=OB，

∵AM⊥l于點M，CN⊥l于點N，

∴∠AMO=∠CNO=90°，

在△AMO和△CNO中，

，

∴△AMO≌△CNO（AAS）

∴OM=ON；

（2）（1）中的結論仍然成立．理由如下：

如答圖2，延長NO，交AM于點E，

∵AM⊥l于點M，CN⊥l于點N，

∴AM∥CN，

∴∠OAE=∠OCN．

∵矩形ABCD，點O為對角線AC中點，

∴OA=OC．

在△AEO和△CNO中，

∴△AEO≌△CNO（ASA）

∴OE=ON，

∵Rt△MEN，點O為EN的中點

∴OM=ON（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．

（3）（1）中的結論仍然成立．理由如下：

如答圖3，延長NO，交MA的延長線于點E．

與（2）同理，可以證明OM=ON．