Question

如圖，已知∠A，請你僅用尺規(guī)，按下列要求作圖和計算（不必寫畫法）：
（1）選取適當?shù)倪呴L，在所給的∠A圖形上畫一個含∠A 的直角三角形ABC，并標上字母，其中點C為直角頂點，點B為另一銳角頂點；
（2）以AC為一邊作等邊△ACD；
（3）若設∠A=30°、BC邊長為a，則BD的長為______．

Answer 1

解：（1）如圖所示，△ABC為所求作的直角三角形（答案不唯一）；

（2）如圖所示，△ACD為所求作的等邊三角形，有點D在AC的上方與下方兩種情況；

（3）∵∠A=30°、BC邊長為a，
∴AB=2BC=2a，
根據勾股定理，AC===a，
①點D在AC的下方時，作DE⊥BC交BC的延長線于點E，
則DE=AC=a，CE=a•sin60°=a×=a，
所以，BE=BC=CE=a+a=a，
在Rt△BDE中，BD===a；
②點D在AC的上方時，∵∠A=30°，
∴∠BAD=60°-30°=30°，
∴∠BAC=∠BAD，
∴AB⊥CD，
∴△ABD與△ABC關于AB成軸對稱，
∴BD=BC，
∵BC=a，
∴BD=a；
綜上所述，BD的長度為a或a．
故答案為：a或a．
分析：（1）在一邊上任取一點C，然后過點C作AC的垂線與另一邊相交于點B，則△ABC即為所求作的三角形；
（2）分別以A、C為圓心，以AC長為半徑畫弧，相交于點D，連接AD、CD則△ACD即為所求作的等邊三角形；
（3）根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB的長度，再利用勾股定理求出AC的長度，然后分兩種情況①點D在AC的下方時，作DE⊥BC交BC的延長線于點E，求出DE、CE的長度，然后求出BE的長度，再利用勾股定理列式計算即可得解，②點D在AC的上方時，求出∠BAD=30°，根據等邊三角形的性質可得AB⊥CD，再根據對稱性可得△ABD與△ABC關于AB成軸對稱，根據軸對稱的性質可得BD=BC．
點評：本題考查了復雜作圖，主要利用了過一點作已知直線的垂線，已知一邊作等邊三角形，都是基本作圖，（3）題要注意分點D在AC的上方與下方兩種情況討論求解．