Question

如圖AD∥BC，點(diǎn)E在CD上，已知AD+BC=AB，E為CD的中點(diǎn)．
求證：
（1）AE⊥BE．
（2）BE平分∠ABC．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)AE到F使EF=AE，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠D=∠ECF，然后利用“角邊角”證明△ADE和△FCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=CF，然后證明AB=BF，再根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)即可得證；
（2）根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的證明即可．

解答：證明：（1）如圖，延長(zhǎng)AE到F使EF=AE，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，

∠D=∠ECF DE=CE ∠AED=∠FEC(對(duì)頂角相等)

，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD=CF，
∵AD+BC=AB，
∴BF=CF+BC=AB，
∴AE⊥BE；

（2）BE平分∠ABC（等腰三角形三線(xiàn)合一）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．