Question

若正整數(shù)n恰好有4個正約數(shù)，則稱n為奇異數(shù)，例如6、8、10都是奇異數(shù)，那么在27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999這10個正整數(shù)中奇異數(shù)有    個．

Answer 1

【答案】分析：首先根據(jù)正整數(shù)n恰好有4個正約數(shù)，則稱n為奇異數(shù)，可得奇異數(shù)有兩類：第一類是質(zhì)數(shù)的立方p³（p是質(zhì)數(shù)），第二類是兩個不同質(zhì)數(shù)的乘積p₁p₂（p₁，p₂為不同的質(zhì)數(shù)），然后分別分析27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999是否符合奇異數(shù)的特點即可求得答案．
解答：解：易得奇異數(shù)有兩類：第一類是質(zhì)數(shù)的立方p³（p是質(zhì)數(shù)），第二類是兩個不同質(zhì)數(shù)的乘積p₁p₂（p₁，p₂為不同的質(zhì)數(shù)）．
∴27=3×3×3=3³，是奇異數(shù)（第一類）；
42=2×3×7不是奇異數(shù)；
69=3×23是奇異數(shù)（第二類），
111=3×37是奇異數(shù)（第二類），
125=5³是奇異數(shù)（第一類），
137是質(zhì)數(shù)，不是奇異數(shù)，
343=7³是奇異數(shù)（第一類），
899=900-1=（30-1）（30+1）=29×31是奇異數(shù)（第二類），
3599=3600-1=（60-1）（60+1）=59×61是奇異數(shù)（第二類），
7999=8000-1=20³-1=（20-1）（20²+20+1）=19×421是奇異數(shù)（第二類）．
因此符合條件的奇異數(shù)有：27，69，111，125，343，899，3599，7999共8個．
故答案為：8．
點評：此題考查了學生的分析能力，考查了質(zhì)數(shù)的性質(zhì)與數(shù)的整除性問題．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是找到奇異數(shù)有兩類：第一類是質(zhì)數(shù)的立方p³（p是質(zhì)數(shù)），第二類是兩個不同質(zhì)數(shù)的乘積p₁p₂（p₁，p₂為不同的質(zhì)數(shù)）．