Question

已知：△ABC是任意三角形．

⑴如圖1所示，點(diǎn)M、P、N分別是邊AB、BC、CA的中點(diǎn)．求證：∠MPN=∠A．

⑵如圖2所示，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上，且，，點(diǎn)P₁、P₂是邊BC的三等分點(diǎn)，你認(rèn)為∠MP₁N+∠MP₂N=∠A是否正確？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

⑶如圖3所示，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上，且，，點(diǎn)P₁、P₂、……、P₂₀₀₉是邊BC的2010等分點(diǎn)，則∠MP₁N+∠MP₂N+……+∠MP₂₀₀₉N=____________．

（請(qǐng)直接將該小問(wèn)的答案寫在橫線上．）

Answer 1

⑴證明：∵點(diǎn)M、P、N分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，

　　 　 ∴線段MP、PN是△ABC的中位線，

∴MP∥AN，PN∥AM

　　 　　∴四邊形AMPN是平行四邊形，

　 　　 ∴∠MPN=∠A.　

⑵∠MP₁N+∠MP₂N=∠A正確.　 如圖所示，連接MN，　

∵，∠A=∠A，

∴△AMN∽△ABC，

∴∠AMN=∠B，，

∴MN∥BC，MN=BC，　

∵點(diǎn)P₁、P₂是邊BC的三等分點(diǎn)，

∴MN與BP₁平行且相等，MN與P₁P₂平行且相等，MN與P₂C平行且相等，

∴四邊形MBP₁N、MP₁P₂N、MP₂CN都是平行四邊形，

∴MB∥NP₁，MP₁∥NP₂，MP₂∥AC，

∴∠MP₁N=∠1，∠MP₂N=∠2，∠BMP₂=∠A，

∴∠MP₁N+∠MP₂N=∠1+∠2=∠BMP₂=∠A.

⑶∠A.