Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊所在直線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)B作BF⊥DE，交射線DE于點(diǎn)F，連接CF．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，∠BDF=α．

①按要求補(bǔ)全圖形；

②∠EBF=______________（用含α的式子表示）；

③判斷線段 BF，CF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

（2）當(dāng)點(diǎn)E在直線BC上時(shí)，直接寫(xiě)出線段BF，CF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明．

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②45°-α；③線段BF，CF，DF之間的數(shù)量關(guān)系是，證明見(jiàn)解析；（2），，

【解析】

(1)①由題意補(bǔ)全圖形即可；
②由正方形的性質(zhì)得出，由三角形的外角性質(zhì)得出，由直角三角形的性質(zhì)得出即可；
③在DF上截取DM=BF，連接CM，證明△CDM≌△CBF，得出CM=CF，∠DCM=∠BCF，得出MF=即可得出結(jié)論；
(2)分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，DF=BF+，理由同(1)③；

②當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，BF=DF+，在BF_上截取BM=DF，連接CM.同(1)③得△CBM≌△CDF得出CM=CF，∠BCM=∠DCF，證明△CMF是等腰直角三角形，得出MF=，即可得出結(jié)論；

③當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，BF+DF=，在DF上截取DM=BF，連接CM，同(1)③得:ACDM≌△CBF得出CM=CF，∠DCM=∠BCF，證明△CMF是等腰直角三角形，得出MF=，即可得出結(jié)論.

（1）①如圖，

②∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，，

∴，

∵BF⊥DE,

∴∠BFE=90°，

∴,

故答案為：45°-α；

③線段BF，CF，DF之間的數(shù)量關(guān)系是.

證明如下：在DF上截取DM=BF，連接CM.如圖2所示，

∵ 正方形ABCD，

∴ BC=CD，∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90°

∴∠CDM=∠CBF=45°-α，

∴△CDM≌△CBF（SAS）.

∴ DM=BF， CM=CF，∠DCM=∠BCF.

∴ ∠MCF =∠BCF+∠MCE

=∠DCM+∠MCE

=∠BCD=90°，

∴ MF =.

∴

（2）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，DF=BF+，理由同(1)③；
②當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，BF=DF+，理由如下：
在BF上截取BM=DF，連接CM，如圖3所示，

同(1)③，得：△CBM≌△CDF(SAS)，

∴CM=CF，∠BCM=∠DCF.
∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠BCM+∠MCD=∠BCD=90°，
∴△CMF是等腰直角三角形，
∴MF=，
∴BF=BM+MF=DF+；

③當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，BF+DF=；理由如下：

在DF上截取DM=BF，連接CM，如圖4所示，
同（1）③得：△CDM≌△CBF，

∴CM=CF，∠DCM=∠BCF，
∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠DCF+∠BCF=∠BCD=90°，
∴△CMF是等腰直角三角形，

∴MF=,
即DM+DF=，

∴BF+DF=;
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)E在直線BC上時(shí)，線段BF，CF，DF之間的數(shù)導(dǎo)關(guān)系為：，或，或.