Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，動點P從點A開始沿AC向點C以每秒2厘米的速度運動，同時動點Q從點C開始沿CB邊向點B以每秒1厘米的速度運動．設運動的時間為t秒（0＜t＜5），△PQC的面積為Scm²．
（1）求S與t之間函數關系式．
（2）當t為何值時，△PQC的面積最大，最大面積是多少？
（3）在P、Q的移動過程中，△PQC能否為直角三角形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
∴根據勾股定理得：AC=10cm，
又∵運動的時間為t秒（0＜t＜5），
∴AP=2tcm，CQ=tcm，
CP=（10-2t）cm．
過Q點作QE⊥AC于E點．
∵∠QEC=∠B=90°，∠ACB=∠ACB，
∴△QEC∽△ABC，
∴，
∴，∴
∴S與t之間的函數關系式為：
S=PC•QE=（10-2t）•=+3t．
答：S與t之間函數關系式是S=-t²+3t．

（2）解：∵，
∴時，△PQC的面積最大，最大面積是，
答：當t為s時，△PQC的面積最大，最大面積是cm²．

（3）在P、Q的移動過程中，△PQC能為直角三角形．
分兩種情況：
①當∠PQC=90°時，
∵△CPQ∽△CAB，
∴
∴，
解得符合題意．
②當∠CPQ=90°時，
∵△CPQ∽△CBA，
∴，
∴，
解得符合題意．
綜合上述，在P、Q的移動過程中，
當s或時，△PQC能為直角三角形．答：在P、Q的移動過程中，△PQC能為直角三角形，此時t的值是s或s．
分析：（1）根據勾股定理求出AC的長，過Q點作QE⊥AC于E點，得到△QEC∽△ABC，推出比例式=，代入即可求出QE的值，代入三角形的面積公式即可得到答案；
（2）把（1）的解析式化成頂點式即可得到答案；
（3）分兩種情況：①當∠PQC=90°時，由相似得到比利式即可求出t的值；②當∠CPQ=90°時，同法可求出t的值，即可得到答案．
點評：本題主要考查了相似三角形的性質和判定，勾股定理，三角形的面積，二次函數的最值等知識點，解此題的關鍵是利用相似得到比例式進而得到方程．題型較好，有一定的難度，綜合性比較強．分類討論思想的運用．