AB是⊙O的直徑,點(diǎn)E是半圓上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A、B都不重合),點(diǎn)C是BE延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且CD⊥AB,垂足為D,CD與AE交于點(diǎn)H,點(diǎn)H與點(diǎn)A不重合.
(1)求證:△AHD∽△CBD;
(2)連HO,若CD=AB=2,求HD+HO的值.

【答案】分析:(1)要證△AHD∽△CBD,只要證明這兩個(gè)三角形的兩組對(duì)邊的比相等,就可以證出;
(2)①設(shè)OD=x,則BD=1-x,AD=1+x,由Rt△AHD∽R(shí)t△CBD可用x表示出DH的值,在Rt△HOD中利用勾股定理可用x表示出OH的值,進(jìn)而可得出結(jié)論;
②當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到使D與O重合的位置時(shí),這時(shí)HD與HO重合,由Rt△AHO∽R(shí)t△CBO,利用對(duì)應(yīng)邊的比例式為方程,可以算出HD=HO=,即HD+HO=1;
③當(dāng)D在OA段時(shí)BD=1+x,AD=1-x,證明同①.
解答:(1)證明:AB是⊙O的直徑
∴∠AEB=90°,則∠ABC+∠BAE=90°,
又∵CD⊥AB,
∴∠BAE+∠AHD=90°,
∴∠AHD=∠ABC,
又∵∠ADH=∠CDB=90°,
∴△AHD∽△CBD.

(2)解:設(shè)OD=x,則BD=1-x,AD=1+x,
∵Rt△AHD∽R(shí)t△CBD,
則HD:BD=AD:CD,
即HD:(1-x)=(1+x):2,
即HD=,
在Rt△HOD中,由勾股定理得:
OH==,
所以HD+HO=+=1;
②當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到使D與O重合的位置時(shí),這時(shí)HD與HO重合,由Rt△AHO∽R(shí)t△CBO,利用對(duì)應(yīng)邊的比例式為方程,可以算出HD=HO=,即HD+HO=1;
③當(dāng)D在OA段時(shí)BD=1+x,AD=1-x,證明同①∵Rt△AHD∽R(shí)t△CBD,
則HD:BD=AD:CD,
即HD:(1-x)=(1+x):2,
即HD=,
在Rt△HOD中,由勾股定理得:
OH==,
所以HD+HO=+=1.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了三角形相似的證明方法,有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似;在第二問(wèn)中根據(jù)三角形相似,對(duì)應(yīng)邊的比相等,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程的問(wèn)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)D是
AC
的中點(diǎn),過(guò)D點(diǎn)作DE⊥BC交BC于E,交BA于M;
(1)求證:ED是⊙O的切線;
(2)連接AC交BD于F,若AF=5,CF=3,求BD的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,△ABC的外角平分線BD交⊙O于D,DE與⊙O相切,交CB的延長(zhǎng)線于E.
(1)判斷直線AC和DE是否平行,并說(shuō)明理由;
(2)若∠A=30°,BE=1cm,分別求線段DE和
BD
的長(zhǎng)(直接寫出最后結(jié)果).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•淮北模擬)如圖,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙O上,且AB=10,AC=8.
(1)如果OE⊥AC,垂足為E,求OE的長(zhǎng);
(2)求tan∠ADC的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O的切線BF上,過(guò)C作直線CE⊥BF,交⊙O于點(diǎn)D、點(diǎn)E,連接AE、
AD和BD.
(1)請(qǐng)找出一對(duì)相似三角形,并證明你的結(jié)論;
(2)若CD=1,AB=5,求tan∠ADE的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在上半圓上,點(diǎn)M是弧AC的中點(diǎn).弦AC、BM相交于P,則圖中與∠BPC相等的角有
2
2
個(gè)(不包括∠BPC)

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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