Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑作圓交AC、BC于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，AF切⊙O于點(diǎn)A，點(diǎn)D是AC中點(diǎn)．

（1）求證：AB=BC；

（2）若，CF=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）半徑為．

【解析】

（1）連接BD，易證BD⊥AC，結(jié)合點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，即可得到結(jié)論；

（2）連接AE，設(shè)CE=，則AC=4k，CD=2k，由CAE~CBD，得，從而得BC=，BE=，由AEF~BEA，得，結(jié)合，得k=，進(jìn)而即可求解．

（1）連接BD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即：BD⊥AC，

又∵點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，

∴BD是AC的中垂線，

∴AB=BC；

（2）連接AE，

∵，

∴設(shè)CE=，則AC=4k，

∵點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，

∴CD=AC=2k，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

又∵∠CAE=∠CBD，

∴CAE~CBD，

∴，即：，

∴BC=，BE=-=，

∵AF切⊙O于點(diǎn)A，

∴AB⊥AF，

∴∠FAE+∠BAE=∠EAB+∠ABE=90°，

∴∠FAE=∠ABE，

∵∠AEF=∠BEA=90°，

∴AEF~BEA，

∴，即：，

又∵, CF=，

∴，解得：k=，

∴，BE==，

∴，

∴⊙O的半徑為：．