Question

如圖，直線y=kx+b交x軸于點A（-1，0），交y軸于點B（0，4），過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C．
（1）直線的解析式為______；
（2）在該拋物線的對稱軸上有一點動P，連接PA、PB，若測得PA+PB的最小值為5，求此拋物線的解析式及點P的坐標(biāo)；
（3）在（2）條件下，在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點A、B的坐標(biāo)代入直線解析式，求出k、b的值，繼而得出直線的解析式；
（2）連接BC，則BC與對稱軸的交點即是P點的位置，根據(jù)PA+PB的最小值為5，可求出OC，利用待定系數(shù)法可求出拋物線解析式，直線BC解析式，也可得出點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)存在這樣的點Q，其坐標(biāo)為（1，y），然后分三種情況討論，①Q(mào)A=QB，②BA=BQ，③AB=AQ，分別求出y的值后即可得出點Q坐標(biāo)．
解答：解：（1）將點A（-1，0），點B（0，4）代入直線y=kx+b得：，
解得：，
故直線解析式為y=4x+4．

（2）∵點A、點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，故PA+PB的最小值為線段BC的長，
∴BC=5，
在Rt△BOC中，BC=5，BO=4，
∴OC==3，即點C的坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
將點B（0，4）代入得：a=-，
∴拋物線的解析式為：y=-（x+1）（x-3）=-x²+x+4．
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
將點B（0，4），點C（3，0）代入可得：，
解得：，
故直線BC的解析式為：y=-x+4，
又∵拋物線的對稱軸為x=1，
∴點P的坐標(biāo)為（1，）．

（3）存在這樣的點Q，使△ABQ為等腰三角形．
設(shè)Q（1，y），
①當(dāng)QA=QB時，則有1²+（y-4）²=（-1-1）²+y²，
解得：y=，即Q（1，）；
②當(dāng)BA=BQ時，易知Q（1，0），Q（1，8）（不合題意，舍去）；
③當(dāng)AB=AQ時，Q（1，）或Q（1，-）．
所以滿足條件的Q有四個：Q（1，），Q（1，0），Q（1，）或Q（1，-）．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、軸對稱求最短路徑及等腰三角形的知識，難點在第三問，解答本題的關(guān)鍵是分類討論，不要漏解．