Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD是∠ACB的角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AC， BC上的動(dòng)點(diǎn)，AC=4，設(shè)AE=x，BF=y．

（1）若x+y=3，求四邊形CEDF的面積；

（2）當(dāng)DE⊥DF時(shí)，如圖2，試探索x、y之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）S四邊形CEDF= 5；（2）x+y=4．

【解析】

（1）在圖1中，過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，DH⊥BC于點(diǎn)H，由∠ACB=90°、AC=BC、CD是∠ACB的角平分線可得出∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，進(jìn)而可得出AD=CD=BD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出DG=DH=2，利用三角形的面積結(jié)合S四邊形CEDF=S△CDE+S△CDF、x+y=3，即可求出四邊形CEDF的面積；

（2）由DE⊥DF、CD⊥AB可得出∠ADE=∠CDF，結(jié)合AD=CD、∠A=∠DCF=45°，即可證出△ADE≌△CDF（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出AE=CF，進(jìn)而可得出AE+BF=CF+BF=BC，即x+y=4．

（1）在圖1中，過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，DH⊥BC于點(diǎn)H．

∵∠ACB=90°，AC=BC，CD是∠ACB的角平分線，

∴∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，

∴AD=CD=BD．

∵在等腰直角三角形ACD中，DG⊥AC，∠A=45°，

∴DG=AG=AC=2，

同理：DH=2．

∵S△CDE=CEDG=4-x，S△CDF=CFDH=4-y，

∴S四邊形CEDF=S△CDE+S△CDF=（4-x）+（4-y）=8-（x+y）=5；

（2）當(dāng)DE⊥DF時(shí)，∠EDF=90°．

∵CD⊥AB，

∴∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF．

在△ADE與△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF，

∴AE+BF=CF+BF=BC，即x+y=4．