Question

（2010•延慶縣二模）如圖所示，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，連接CD且DC=BC，過C點作AD的垂線交AD延長線于E，
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，OA=OC，則∠OCA=∠OAC，再由已知條件，可得∠ODE=90°；
（2）由CE是⊙O的切線，得∠DCE=∠CAE=∠CAB，從而求得tan∠DCE的值．
解答：（1）證明：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵DC=BC，
∴=，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠OCA=∠CAD，
∵∠CAD+∠ACE=90°，∠ACE+∠ACO=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切線；

（2）解：∵CE是⊙O的切線，
∴∠DCE=∠CAE，
∵BD=CD，
∴∠CAE=∠CAB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，AC=4，
∴BC=3，
∴tan∠DCE=tan∠BAC==．
點評：本題考查了切割線定理和勾股定理，是基礎知識要熟練掌握．