Question

如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，弦CE⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)D的切線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AD，分別交CF、BC于點(diǎn)P、Q，連接AC．給出下列結(jié)論：

①∠BAD＝∠ABC；

②GP＝GD；

③點(diǎn)P是△ACQ的外心；

④AP·AD＝CQ·CB．

其中正確的是________(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))．

Answer 1

答案：②③④
解析：

解：∠BAD與∠ABC不一定相等，選項(xiàng)①錯(cuò)誤； 　　連接BD，如圖所示： 　　∵GD為圓O的切線， 　　∴∠GDP＝∠ABD， 　　又AB為圓O的直徑，∴∠ADB＝90°， 　　∵CE⊥AB，∴∠AFP＝90°， 　　∴∠ADB＝∠AFP，又∠PAF＝∠BAD， 　　∴△APF∽△ABD， 　　∴∠ABD＝∠APF，又∠APF＝∠GPD， 　　∴∠GDP＝∠GPD， 　　∴GP＝GD，選項(xiàng)②正確； 　　∵直徑AB⊥CE， 　　∴A為的中點(diǎn)，即＝， 　　又C為的中點(diǎn)，∴＝， 　　∴＝， 　　∴∠CAP＝∠ACP， 　　∴AP＝CP， 　　又AB為圓O的直徑，∴∠ACQ＝90°， 　　∴∠PCQ＝∠PQC， 　　∴PC＝PQ， 　　∴AP＝PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點(diǎn)， 　　∴P為Rt△ACQ的外心，選項(xiàng)③正確； 　　連接CD，如圖所示： 　　∵＝， 　　∴∠B＝∠CAD，又∠ACQ＝∠BCA， 　　∴△ACQ∽△BCA， 　　∴＝，即AC2＝CQ·CB， 　　∵＝， 　　∴∠ACP＝∠ADC，又∠CAP＝∠DAC， 　　∴△ACP∽△ADC， 　　∴＝，即AC2＝AP·AD， 　　∴AP·AD＝CQ·CB，選項(xiàng)④正確， 　　則正確的選項(xiàng)序號(hào)有②③④．

提示：

切線的性質(zhì)；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；相似三角形的判定與性質(zhì)．