Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

（1）求AD的長(zhǎng)；

（2）設(shè)CP=x，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)△PDQ的面積達(dá)到最大，并求出最大值；

（3）探究：在BC邊上是否存在點(diǎn)M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)M，并求出BM的長(zhǎng)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）解法一：如圖1,過(guò)A作AE⊥CD，垂足為E .

        依題意，DE=.

        在Rt△ADE中，AD=.

        解法二：如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC交CD于點(diǎn)E，則CE=AB=4

        ∠AED=∠C=60°.

        又∵∠D=∠C=60°，

        ∴△AED是等邊三角形 .

        ∴AD=DE=9－4=5 . 

   （2）解：如圖1,

∵CP=x，h為PD邊上的高,依題意，△PDQ的面積S可表示為：

S=PD?h

=(9－x)?x?sin60°

=(9x－x²)

    =－(x－)²＋. 

由題意，知0≤x≤5 .  

當(dāng)x=時(shí)（滿足0≤x≤5），S_最大值=.

（3）證法一：如圖3,假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，則PD必須等于DQ .

    于是9－x=x，x=.

    此時(shí)，點(diǎn)P、Q的位置如圖3所示，連QP .△PDQ恰為等邊三角形 .

     過(guò)點(diǎn)Q作QM∥DC，交BC于M，點(diǎn)M即為所求.連結(jié)MP，以下證明四邊形PDQM是菱形 .

     易證△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD

     ∴MP∥QD ,     ∴四邊形PDQM是平行四邊形 .

     又MP=PD ,    ∴四邊形PDQM是菱形 .

     所以存在滿足條件的點(diǎn)M，且BM=BC－MC=5－=. 

     證法二：如圖4,假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，則PD必須等于DQ . 

    于是9－x=x，x=.

此時(shí)，點(diǎn)P、Q的位置如圖4所示，△PDQ恰為等邊三角形 .

 

    過(guò)點(diǎn)D作DO⊥PQ于點(diǎn)O，延長(zhǎng)DO交BC于點(diǎn)M，連結(jié)PM、QM，則DM垂直平分PQ，∴ MP=MQ .

   易知∠1=∠C .

   ∴PQ∥BC .

   又∵DO⊥PQ，  ∴MC⊥MD

   ∴MP= CD=PD

   即MP=PD=DQ=QM

  ∴四邊形PDQM是菱形

所以存在滿足條件的點(diǎn)M，且BM=BC－MC=5－=