Question

如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)分別在x軸、y軸上，其中C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，-3）．兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度沿折線CDA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）求菱形ABCD的高h(yuǎn)和面積s的值；
（2）當(dāng)Q在CD邊上運(yùn)動(dòng)，x為何值時(shí)直線PQ將菱形ABCD的面積分成1：2兩部分；
（3）設(shè)四邊形APCQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（要寫出x的取值范圍）；在P、Q運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中是否存在y的最大值？若存在，求出這個(gè)最大值，并指出此時(shí)P、Q的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖1，過B點(diǎn)作BH⊥CD，垂足為H，由菱形的性質(zhì)可知OB=OD=3，OA=OC=4，在Rt△COD中，由勾股定理求CD，根據(jù)S_菱形ABCD=4S_△COD求菱形面積，再根據(jù)S_菱形ABCD=CD×BH求h；
（2）根據(jù)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度表示AP，DQ，由S_梯形APQD=

1

3

S_菱形ABCD，或S_梯形APQD=

2

3

S_菱形ABCD，兩種情況分別求x的值；
（3）根據(jù)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度表示AP，CQ，根據(jù)梯形面積公式表示y，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求y的最大值及此時(shí)x的值．

解答：解：（1）如圖1，過B點(diǎn)作BH⊥CD，垂足為H，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴OB=OD=3，OA=OC=4，
在Rt△COD中，CD=

OC2+OD2

=5，
∴S_菱形ABCD=4S_△COD=4×

1

2

×4×3=24，
又∵S_菱形ABCD=CD×BH，即5h=24，解得h=

24

5

；

（2）依題意，得AP=x，DQ=5-2x，則S_梯形APQD=

1

2

（x+5-2x）×

24

5

=

12

5

（5-x），
當(dāng)S_梯形APQD=

1

3

S_菱形ABCD時(shí)，

12

5

（5-x）=8，解得x=

5

3

，
當(dāng)S_梯形APQD=

2

3

S_菱形ABCD時(shí)，

12

5

（5-x）=16，解得x=-

5

3

（舍去）；

（3）存在．
當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，如圖2，依題意，得AP=x，CQ=2x，
∴y=

1

2

（x+2x）×

24

5

=

36

5

x（0≤x≤

5

2

），
當(dāng)x=

5

2

時(shí)，y有最大值，最大值為

36

5

×

5

2

=18，⊙
此時(shí)P點(diǎn)在線段AB的中點(diǎn)，Q點(diǎn)與D點(diǎn)重合；
當(dāng)點(diǎn)Q在AD上時(shí)，如圖3，
y=

1

2

（x+10-2x）×

24

5

=24-

12

5

x（

5

2

＜x＜5），
y無最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求菱形的邊長(zhǎng)，高，面積，根據(jù)梯形的面積公式列方程求解．