如圖1,在正方形ABCD中,E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與端點(diǎn)B、C重合),以AE為邊,在直線BC的上方作矩形AEFG.使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上,過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.
(1)求證:①矩形AEFG是正方形;②BE=HC;
(2)若題設(shè)中動(dòng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,其他條件不變,請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形,猜想(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否成立,請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論,不需要證明.
考點(diǎn):全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的判定與性質(zhì)
專(zhuān)題:
分析:(1)①證明△ABE≌△ADG,即可解決問(wèn)題.
②證明△AEB≌△EFH,得到AB=EH,借助AB=BC,即可解決問(wèn)題.
(2)補(bǔ)全圖2如圖所示,(1)中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立.
解答:解:(1)證明:①∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠ABE=∠ADC
=∠ADG=90°;
∵四邊形AEFG是矩形,
∴∠EAG=90°,
∴∠BAD=∠EAG=90°.
∴∠BAD-∠EAD=∠EAG-∠EAD,
即∠BAE=∠DAG;
在△ABE與△ADG中,
∠BAE=∠DAG
AD=AD
∠ABE=∠ADG
,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG.
∴矩形AEFG是正方形.         
②∵矩形AEFG是正方形,
∴AE=EF,∠AEF=90°,
∴∠AEB+∠FEH=90°;
又∵∠AEB+∠EAB=90°,
∴∠EAB=∠FEH.
在△AEB與△EFH中,
∠EAB=∠FEB
∠B=∠H
AE=EF
,
∴△AEB≌△EFH(AAS),
∴AB=EH.
∵AB=BC,
∴BC=EH.
∵BC=BE+EC,EH=HC+EC,
∴BE=HC.
(2)補(bǔ)全圖2如圖所示:(1)中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立.
點(diǎn)評(píng):該題以正方形為載體,以考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用為核心構(gòu)造而成;牢固掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)是靈活運(yùn)用的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

⊙O的半徑為5cm,弦AB∥CD,且AB=8cm,CD=6cm,則AB與CD之間的距離為( 。
A、1cm
B、7cm
C、3cm或4cm
D、1cm或7cm

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知∠AOC=∠BOD=α(0°<α<180°)
(1)如圖1,若α=90°
①寫(xiě)出圖中一組相等的角(除直角外)
 
,理由是
 

②試猜想∠COD和∠AOB在數(shù)量上是相等、互余、還是互補(bǔ)的關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)如圖2,∠COD+∠AOB和∠AOC滿足的等量關(guān)系是
 
;當(dāng)α=
 
°,∠COD和∠AOB互余.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

寫(xiě)出一個(gè)只含有未知數(shù)a和b的五次三項(xiàng)式,這個(gè)多項(xiàng)式可以為
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若二次根式
1+2x
有意義,則x的取值范圍為(  )
A、x≥-
1
2
B、x≤-
1
2
C、x≥
1
2
D、x≤
1
2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是( 。
A、(-2)3與-23
B、2與
1
2
C、-1與(-1)2
D、2與|-2|

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,AB為⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,∠C=25°,AB=6,則劣弧
CD
的長(zhǎng)為(  )
A、10π
B、
2
C、
3
D、
6

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,則tan∠ABC的值為( 。
A、
3
5
B、
3
4
C、
10
5
D、1

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)A坐標(biāo)為(-2,-3),則點(diǎn)A到x軸距離為
 
,到原點(diǎn)距離為
 

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同步練習(xí)冊(cè)答案