如圖，長(zhǎng)為2，寬為的矩形紙片（），剪去一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；

（1）第一次操作后剩下的矩形長(zhǎng)為，寬為          ；

（2）再把第一次操作后剩下的矩形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去．

①求第二次操作后剩下的矩形的面積；

②若在第3次操作后，剩下的圖形恰好是正方形，求的值．

 

 

 

【答案】

（1）2- 

（2）第二次操作后剩下的矩形的邊長(zhǎng)分別為：2-，2-2 

 面積為：（2-）（2-2）=-22+6-4  

（3）當(dāng)2->2-2, <時(shí)  2-=2(2-2)   8分    = 

 當(dāng)2-<2-2, >時(shí)  2(2-)=2-2  10分    = 

 綜合得=或.

【解析】（1）根據(jù)圖形的特征易得結(jié)果；

（2）①先算出第二次操作后剩下的矩形的邊長(zhǎng)即可得到面積。②先算出第三次操作后剩下的矩形

的長(zhǎng)和寬，根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)相等得到關(guān)于a的方程，即可求出a。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

（2013•青島）在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式．
這種利用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化．

【研究速算】
提出問題：47×43，56×54，79×71，…是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以47×43為例：
（1）畫長(zhǎng)為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個(gè)47×43的矩形從右邊切下長(zhǎng)40，寬3的一條，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式：47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果．
歸納提煉：
兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）
十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果
十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果
．
【研究方程】
提出問題：怎樣圖解一元二次方程x2+2x-35=0（x＞0）？
幾何建模：
（1）變形：x（x+2）=35．
（2）畫四個(gè)長(zhǎng)為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖4
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，（x+x+2）2或四個(gè)長(zhǎng)x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長(zhǎng)為2的小正方形面積．
即（x+x+2）2=4x（x+2）+22
∵x（x+2）=35
∴（x+x+2）2=4×35+22
∴（2x+2）2=144
∵x＞0
∴x=5
歸納提煉：求關(guān)于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關(guān)線段的長(zhǎng)）
【研究不等關(guān)系】
提出問題：怎樣運(yùn)用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關(guān)系（其中y＞0）？
幾何建模：
（1）畫長(zhǎng)y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割
（2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）×1，畫點(diǎn)部分部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
歸納提煉：
當(dāng)a＞2，b＞2時(shí)，表示ab與a+b的大小關(guān)系．
根據(jù)題意，設(shè)a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關(guān)線段的長(zhǎng)）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖（1），有A型、B型、C型三種不同的紙板，其中A形是邊長(zhǎng)為m的正方形，B型是長(zhǎng)為m、寬為n的長(zhǎng)方形，C型是邊長(zhǎng)為n的正方形．由圖（2）中四塊紙板拼成的正方形的面積關(guān)系可以說明（m+n）2=m2+2mn+n2成立．

（1）類似地，由圖（3）中六塊紙板拼成的大長(zhǎng)方形的面積關(guān)系可以說明的等式是
（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2
（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2
．
（2）現(xiàn)有A型紙板2塊，B型紙板5塊，C型紙板2塊，要求緊密且不重疊地拼出一個(gè)大長(zhǎng)方形，如果紙板最多剩一塊，請(qǐng)畫出所有可能拼出的大長(zhǎng)方形的示意圖；類似地，根據(jù)所拼出的大長(zhǎng)方形的面積關(guān)系寫出可以說明的等式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，長(zhǎng)為2，寬為a的矩形紙片（1＜a＜2），剪去一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；
（1）第一次操作后剩下的矩形長(zhǎng)為a，寬為
2-a
2-a
；
（2）再把第一次操作后剩下的矩形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去．
①求第二次操作后剩下的矩形的面積；
②若在第3次操作后，剩下的圖形恰好是正方形，求a的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年福建省永春縣八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（帶解析） 題型：解答題

如圖，長(zhǎng)為2，寬為的矩形紙片（），剪去一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；
（1）第一次操作后剩下的矩形長(zhǎng)為，寬為         ；
（2）再把第一次操作后剩下的矩形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去．
①求第二次操作后剩下的矩形的面積；
②若在第3次操作后，剩下的圖形恰好是正方形，求的值．

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