Question

【題目】如圖，拋物線C1是二次函數(shù)y=x2﹣10x在第四象限的一段圖象，它與x軸的交點是O、A1；將C1繞點A1旋轉(zhuǎn)180°后得拋物線C2；交x軸于點A2；再將拋物線C2繞A2點旋轉(zhuǎn)180°后得拋物線C3，交x軸于點A3；如此反復進行下去…

（1）拋物線C3與x軸的交點A3的坐標是多少？拋物線Cn與x軸的交點An的坐標是多少？

（2）若某段拋物線上有一點P（2016，a），試求a的值．

Answer 1

【答案】（1）A3的坐標為（30，0），拋物線Cn與x軸的交點An的坐標為（10n，0）；（2）24．

【解析】

試題分析：（1）通過解方程x2﹣10x=0可得到A1（10，0），則OA1=10，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OA2=2OA1=20，OA3=3OA1=30，…，OAn=nOA1=10n，所以A3的坐標為（30，0），An的坐標為（10n，0）；

（2）由于2016=201×10+16，則可判斷點P（2016，a）在拋物線C202上，利用（1）中的結(jié)論得到拋物線C202與x軸的交點坐標為（2010，0），（2020，0），拋物線開口向下，利用交點式寫出拋物線C202的解析式為y=﹣（x﹣2010）（x﹣2020），然后計算自變量為2016所對應的函數(shù)值即可．

解：（1）當y=0時，x2﹣10x=0，解得x1=0，x2=10，則A1（10，0），OA1=10，

因為OA2=2OA1=20，OA3=3OA1=30，同理可得OAn=nOA1=10n，

所以A3的坐標為（30，0），拋物線Cn與x軸的交點An的坐標為（10n，0）；

（2）因為2016=201×10+16，

所以點P（2016，a）在拋物線C202上，

而拋物線C202與x軸的交點坐標為（2010，0），（2020，0），拋物線開口向下，

所以拋物線C202的解析式為y=﹣（x﹣2010）（x﹣2020），

把點P（2016，a）代入得a=﹣6×（﹣4）=24，

即a的值為24．