Question

已知：如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，⊙O的直徑BD交AC于E，AF⊥BD于F，延長AF交BC于G，
求證：AB²=BG•BC．

Answer 1

解：連接AD，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠DAF=90°，
∵AF⊥BD，
∴∠D+∠DAF=90°，
∴∠BAG=∠D，
∵∠C=∠D，
∴∠C=∠BAG，
∵∠ABG=∠ABC，
∴△ABG∽△CBA，
∴AB：CB=BG：AB，
∴AB²=BG•BC．
分析：因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角，所以作輔助線：連接AD；利用同角的余角相等，可得∠BAG=∠D，又由同弧所對的圓周角相等，可得∠C=∠D，證得∠C=∠BAG，又因?yàn)椤螦BG是公共角，即可證得△ABG∽△CBA；由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可證得AB²=BG•BC．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與圓的性質(zhì)．解此題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法，在圓中，構(gòu)造直徑所對的角是直角是常見輔助線，同學(xué)們應(yīng)注意掌握．