Question

如圖，D為△ABC的邊BC上一點，P為線段AD上一點，若△APB的面積為9，△CPD的面積為16，則△ABC面積的最小值是________．

Answer 1

49
分析：首先設S_△APC=a，S_△BPD=b，由于S_△APB：S_△BPD=S_△APC：S_△CPD，由此得到9：b=a：16，所以ab=144，又設S_△ABC=S，則a+b=S-（9+16），然后即可得到a、b是方程x²-（s-25）x+144=0的兩個根，然后根據判別式即可得到關于S的不等式，解不等式即可解決問題．
解答：設S_△APC=a，S_△BPD=b，
∵S_△APB：S_△BPD=S_△APC：S_△CPD，
∴9：b=a：16，
∴ab=144，
又設S_△ABC=S，
則a+b=S-（9+16），
∴a、b是方程x²-（S-25）x+144=0的兩個根，
∴△=（S-25）²-4×144≥0，
∴S≤1或S≥49，
而S＞25，
∴S的最大值為49．
點評：此題主要考查了三角形的面積公式和一元二次方程的判別式，解題時首先根據面積公式得到關于S_△ABC的一元二次方程，然后利用方程的判別式即可解決問題．此題比較難，對于學生分析問題、解決問題的能力要求比較高．