Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線，且∠BDC=120°，連接AC．

（1）求∠A的度數；

（2）若點D到BC的距離為2，那么⊙O的半徑是多少？

Answer 1

【答案】(1)30°；(2)4

【解析】

試題分析：(1)首先連接OC，由BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線，可求得∠BOC的度數，然后由圓周角定理，求得答案；(2)首先求得∠DCB與∠DBC的度數，然后過點D作DE⊥BC，垂足為E，則DE=2，即可求得BE的長，繼而求得BC的長，然后由(1)可知△OBC為等邊三角形，即可求得答案．

試題解析：(1)連接OC， ∵BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線， ∴OC⊥CD，OB⊥BD，

∴∠OCD=∠OBD=90°， ∵∠BDC=120°， ∴∠BOC=360°﹣∠OCD﹣∠BDC﹣∠OBD=60°，

∴∠A=∠BOC=30°；

(2)∵BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線， ∴DC=DB，

∴∠DCB=∠DBC=（180°﹣120°）=30°， 過點D作DE⊥BC，垂足為E，則DE=2， ∵∠DBC=30°，

∴BD=2DE=4， 在直角△DEB中，BE=2， ∴BC=2BE=4，

由(1)可知△OBC為等邊三角形， ∴OB=BC=4， ∴⊙O的半徑是4.