Question

兩個等腰直角三角形ABC，ADE，如圖①擺放（E點在AB上），連BD，取BD的中點P，連PC、PE，則有PC=PE，PC⊥PE．
（1）將△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使E點落在AC上，如圖②，結(jié)論是否仍成立？請證明你的判斷．如果你經(jīng)過反復(fù)探索，沒有找到解決問題的辦法，可通過連接AP，延長PE或延長DE，延長AD，延長BC的途徑來完成你的證明．
（2）如圖③，當(dāng)△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°時，連DC，若DC∥AB，求的值．

Answer 1

解：（1）結(jié)論仍然成立．理由為：
連接AP，延長PE交AD于點M，
∵△ABC、△ADE均為等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=45°，∴∠DAB=90°，
∵P為BD中點，∴PA=PB=PD，
在△APC和△BPC中，
，
∴△APC≌△BPC（SSS），
∴∠ACP=∠BCP=∠ACB=45°，
同理可得△APE≌△DPE，
∴∠APE=∠DPE，∠PAE=∠PDE，
∴∠APE+∠PAE=∠DPE+∠PDE，即∠AEM=∠DEM=∠AED=45°，
∴∠CEP=∠AEM=45°，
∴∠CPE=90°，
∴△CPE為等腰直角三角形，即PC=PE，PC⊥PE；


（2）過D作DF⊥AC，垂足為F，
∵DC∥AB，∴∠DCF=∠CAB=45°，
∴DF=CF，
在Rt△ADF中，∠DAF=30°，
設(shè)DF=k，則有AD=2k，AF=k，
∴AC=AF+FC=k+k=（+1）k，
∴==．
分析：（1）結(jié)論仍成立，理由如下：在圖②上連接AP，延長PE與AD交于點M，由三角形ABC與三角形ADE都為等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAB與∠DAE都為45°，進(jìn)而得到∠DAB為直角，又P為斜邊BD的中點，AP為斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得DP=BP=AP，再由AC=BC，且CP為公共邊，利用SSS可證明三角形ACP與三角形BCP全等，可得∠ACP=∠BCP，從而得到∠ECP=45°，同理可得三角形DPE與三角形APE全等，可得∠DEP=∠AEP，即∠CEP=∠AEM=45°，可得三角形EPC為等腰直角三角形，得證；
（2）過D作DF垂直于AC，垂足為F，由三角形ABC為等腰三角形且DC與AB平行，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及兩直線平行內(nèi)錯角相等可得∠DCF=45°，可得三角形DCF為等腰直角三角形，得到DF=CF，在直角三角形ADF中，設(shè)30°角所對的直角邊DF=k，斜邊AD=2k，根據(jù)勾股定理求得AF=k，由AF+FC表示出AC，即可求出AC與AD的比值．
點評：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，其中第二、三問根據(jù)題意及分析作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．