Question

有n盞燈排成一排，依次標號1，2，…，n，每盞燈都有一根拉線開關，最初電燈都是關著的．現(xiàn)有n個人，都沿著電燈路線走過，第一個人走過時，把凡是號碼是1的倍數(shù)的燈的開關拉一下；接著第二個人走過時，把凡是號碼是2的倍數(shù)的燈的開關拉一下；第三個走過時，把凡是號碼是3的倍數(shù)的燈的開關拉一下；…；最后，第n個人走過時，把最后那盞燈的開關拉一下．
（1）填空：

n	最后第n個人走過后，哪些亮著燈的號碼
10
20

（2）猜想n=100時，最后第100個人走過后，哪些亮著燈的號碼．說明你猜想的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于最初所有電燈是關著的，所以只有哪些拉了奇數(shù)次開關的電燈才是亮的，而每一盞電燈的拉線開關被拉了多少次取決于這盞燈的編號的數(shù)字有多少個不同的正約數(shù)，最后亮著的燈的編號只有為完全平方數(shù)．所以，即可得出答案；
（2）若（a₁，a₂）=1，則稱a₁與a₂互質(zhì)．若（a₁，a_k）=1，則稱a₁，a_k互質(zhì)，值得注意的是居個數(shù)互質(zhì)，不一定兩兩互質(zhì)，如（6，9，10）=1，而（6，9）=3，
本題的一個重要條件是最初時燈都是關著的，然后對每個編號分解質(zhì)因數(shù)．
解答：解：（1）由于最初所有電燈是關著的，所以只有哪些拉了奇數(shù)次開關的電燈才是亮的，而每一盞電燈的拉線開關被拉了多少次取決于這盞燈的編號的數(shù)字有多少個不同的正約數(shù)，最后亮著的燈的編號只有為完全平方數(shù)．所以，n=10時，只有編號為1，4，9亮著，
由于最初所有電燈是關著的，所以只有哪些拉了奇數(shù)次開關的電燈才是亮的，而每一盞電燈的拉線開關被拉了多少次取決于這盞燈的編號的數(shù)字有多少個不同的正約數(shù)，最后亮著的燈的編號只有為完全平方數(shù)．所以，n=20時，只有編號為1，4，9，16亮著；

（2）由于最初所有電燈是關著的，所以只有哪些拉了奇數(shù)次開關的電燈才是亮的，而每一盞電燈的拉線開關被拉了多少次取決于這盞燈的編號的數(shù)字有多少個不同的正約數(shù)，最后亮著的燈的編號只有為完全平方數(shù)．所以，只有編號為1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的電燈最后是亮著的．
點評：此題主要考查了數(shù)的奇偶性，得出最后亮著的燈的編號只有為完全平方數(shù)，從而解決問題．