Question

如圖，直線與軸相交于點，與軸相交于點，點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿直線向點移動。同時，將直線以每秒個單位長度的速度向上平移，交于點，交于點，設運動時間為秒。

⑴證明：在運動過程中，四邊形總是平行四邊形；

⑵當取何值時，四邊形為菱形？請指出此時以點為圓心、長為半徑的圓與直線的位置關系并說明理由。

Answer 1

解：⑴∵直線與軸相交于點，與軸相交于點

∴直線的解析式為，即

∵將直線以每秒個單位長度的速度向上平移秒得到直線

∴，∴，∴直線的解析式為

∵在直線中，點在軸上，∴令，則，∴，

∴在中，

∵點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿直線向點移動秒

∴，∴，又∵，∴，

∵，，∴在運動過程中，四邊形總是平行四邊形；

⑵欲使四邊形為菱形，只需在中滿足條件，即，解得

∴當時，四邊形為菱形；

此時以點為圓心、長為半徑的圓與直線相切，理由如下：

∵，∴，∴

∵，，∴，，∴在中，

過點作于點，則

∵在和中，且，∴∽

∴，即，∴，∴點到直線的距離等于的半徑

∴以點為圓心、長為半徑的圓與直線相切。

另解：（在證明與直線相切時，也可利用等積法求得點到直線的距離。）

設點到直線的距離為，則，連結，

∵且、

∴，解得，∴點到直線的距離與的半徑相等，即

∴以點為圓心、長為半徑的與直線相切。

再解：（巧用“菱形對角線的性質”和“角平分線性質定理”）

連結，則是菱形的對角線，∴平分

∵，∴是點到直線的距離，

∴點到直線的距離＝點到直線的距離

∴以點為圓心、長為半徑的圓與直線相切。