Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，，，，軸于點．

（1）；

（2）連接，判斷的形狀，并說明理由；

（3）如圖2，已知，，若是等腰直角三角形，且，則點坐標為 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）為等腰直角三角形，見解析；（3）或

【解析】

（1）根據點的坐標分別求出OD、CD，得到AD=OB，利用SAS定理證明△AOB≌△CDA；

（2）根據全等三角形的性質得到∠ABO=∠CAD，AC=AB，根據同角的余角相等得到∠BAC=90°，根據等腰直角三角形的定義解答；

（3）根據題意畫出點M和點M′，過點P作x軸的平行線GH，作MG⊥GH于G，QH⊥GH于H，證明△GMP≌△HPQ，根據全等三角形的性質得到GM=PH=3，GP=HQ=2，得到點M坐標為（1，1），同理求出點M′坐標．

（1）∵C（2，3），軸于點，

∴D（0，3）

∴OD=3，CD=2，

∵A（0，2），B（1，0），

∴OA=2，OB=1，

∴AD=1，

∴AD=OB，

在△AOB和△CDA中，

，

∴△AOB≌△CDA（SAS）；

（2）△ABC是等腰直角三角形，

理由如下：∵△AOB≌△CDA，

∴∠ABO=∠CAD，AC=AB，

∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CAD+∠BAO=90°，

∴∠BAC=90°，又AC=AB，

∴△ABC是等腰直角三角形；

（3）如圖2，過點P作x軸的平行線GH，作MG⊥GH于G，QH⊥GH于H，

∵P（3，4），Q（6，2），

∴PH=3，QH=2，

∵△MPQ為等腰直角三角形，

∴∠MPQ=90°，PM=PQ，

∴∠MPG+∠HPQ=90°，

∵∠MPG+∠PMG=90°，

∴∠GMP=∠HPQ，

在△GMP和△HPQ中，

，

∴△GMP≌△HPQ（AAS）

∴GM=PH=3，GP=HQ=2，

∴點M坐標為（1，1），

過點P作y軸的平行線ST，作M′S⊥ST于S，QT⊥ST于T，

同理可得，△M′ST≌△PTQ，

∴M′S=PT=2，SP=TQ=3，

∴點M′坐標為（5，7），

故答案為：（1，1）或（5，7）．