Question

【題目】如圖，拋物線y＝a（x﹣m﹣1）2+2m（其中m＞0）與其對(duì)稱軸l相交于點(diǎn)P．與y軸相交于點(diǎn)A（0，m）連接并延長(zhǎng)PA、PO，與x軸、拋物線分別相交于點(diǎn)B、C，連接BC將△PBC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在拋物線上，設(shè)點(diǎn)C、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)B′和C′．

（1）當(dāng)m＝1時(shí)，該拋物線的解析式為：　 　．

（2）求證：∠BCA＝∠CAO；

（3）試問：BB′+BC﹣BC′是否存在最小值？若存在，求此時(shí)實(shí)數(shù)m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+1；（2）見解析；（3）BB′+BC﹣BC′存在最小值，m＝1+.

【解析】

（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：m＝a（﹣m﹣1）2+2m，解得：a＝﹣，把m＝1代入上式，即可求解；

（2）求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，即可求解；

（3）當(dāng)點(diǎn)B′落在BC′所在的直線時(shí)，BB′+BC﹣BC′存在最小值，證△BAO∽△POD，即可求解．

解：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：m＝a（﹣m﹣1）2+2m，解得：a＝﹣，

則二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣m﹣1）2+2m…①，

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m+1，2m），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，m），

把m＝1代入①式，整理得：y＝﹣x2+x+1，

故：答案為：y＝﹣x2+x+1；

（2）把點(diǎn)P、A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b得：

，解得：，

則直線PA的表達(dá)式為：y＝x+m，

令y＝0，解得：x＝﹣m﹣1，即點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣m﹣1，0），

同理直線OP的表達(dá)式為：y＝x…②，

將①②聯(lián)立得：a（x﹣m﹣1）2+2m﹣x＝0，其中a＝﹣，

該方程的常數(shù)項(xiàng)為：a（m+1）2+2m，

由韋達(dá)定理得：x1x2＝xCxP＝＝＝﹣（m+1）2，

其中xP＝m+1，

則xC＝﹣m﹣1＝xB，

∴BC∥y軸，

∴∠BCA＝∠CAO；

（3）如圖當(dāng)點(diǎn)B′落在BC′所在的直線時(shí)，BB′+BC﹣BC′存在最小值，

設(shè)：直線l與x軸的交點(diǎn)為D點(diǎn)，連接BB′、CC′，

∵點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為C′，

∴CC′⊥l，而OD⊥l，∴CC′∥OD，∴∠POD＝∠PCC′，

∵∠PB′C′+∠PB′B＝180°，

△PB′C′由△PBC旋轉(zhuǎn)而得，

∴∠PBC＝∠PB′C′，PB＝PB′，∠BPB′＝∠CPC′，

∴∠PBC+∠PB′B＝180°，

∵BC∥AO，

∴∠ABC+∠BAO＝180°，

∴∠PB′B＝∠BAO，

∵PB＝PB′，PC＝PC′，

∴∠PB′B＝∠PBB′＝，

∴∠PCC′＝∠PC′C＝，

∴∠PB′B＝∠PCC′，

∴∠BAO＝∠PCC′，

而∠POD＝∠PCC′，

∴∠BAO＝∠POD，

而∠POD＝∠BAO＝90°，

∴△BAO∽△POD，

∴，

將BO＝m+1，PD＝2m，AO＝m，OD＝m+1代入上式并解得：

m＝1+（負(fù)值已舍去）．