Question

16、如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一點，BP的延長線交⊙O于點Q，點R在OA的延長線上，且RP=RQ．
（1）求證：RQ是⊙O的切線；
（2）求證：OB²=PB•PQ+OP²；
（3）當(dāng)RA≤OA時，試確定∠B的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要證明RQ是⊙O的切線只要證明∠OQR=90°即可；
（2）先證明△BCP∽△AQP，從而得到PB•PQ=PC•PA，整理即可得到OB²=PB•PQ+OP²；
（3）分別考慮當(dāng)RA=OA時或與A重合時，∠B的度數(shù)，從而確定其取值范圍．

解答：證明：（1）連接OQ；
∵OB=OC，PR=RQ；
∴∠OBP=∠OQP，∠RPQ=∠RQP；
∵∠OBP+∠BPO=90°，∠BPO=∠RPQ；
∴∠OQP+∠RQP=90°；
即∠OQR=90°，
∴RQ是⊙O的切線．

證明：（2）延長AO⊙O交于點C；
∵∠BPC=∠QPA，∠BCP=∠AQP，
∴△BCP∽△AQP，
∴PB•PQ=PC•PA=（OC+OP）（OA-OP）=（OB+OP）（OB-OP）=OB²-OP²，
∴OB²=PB•PQ+OP²．

解：（3）當(dāng)RA=OA時，∠R=30°，易得∠B=15°，當(dāng)R與A重合時，∠B=45°；
∵R是OA延長線上的點，
∴R與A不重合，
∴∠B≠45°；
又∵RA≤OA，
∴∠B＜45°，
∴15°≤B＜45°．

點評：此題考查了學(xué)生對切線的判定及相似三角形的判定等知識點的綜合運用．