Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（6，0），直線y=-x+b經(jīng)過點A，與y軸交于點B．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）若動點P從B點出發(fā)，以5個單位/秒的速度沿BO向終點O運動，過點P作PQ⊥AB，垂足為Q，M為PQ上的一點，且QM=2PM，過M點作MN⊥OA，垂足為N，設(shè)MN的長為y，點P的運動時間為t，求y關(guān)于t（秒）的函數(shù)關(guān)系式（請直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，將△BPQ沿直線PQ折疊得到△B′PQ，過B′點作B′D垂直x軸于點D，當(dāng)t為何值時，∠MB′N=90°，并判斷此時直線B′D與以MN為直徑的⊙O′的位置關(guān)系，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A的坐標(biāo)為（6，0）代入直線y=-x+b求出直線的解析式，當(dāng)x=0時求出y值就可以求出點B的坐標(biāo)．
（2）由（1）B的坐標(biāo)可以求出OB，再由勾股定理就可以求出AB的值，由PQ⊥AB，根據(jù)三角形的正弦值表示出PQ再由已知條件可以表示出PM，如圖1作PH⊥MN可以求得∠MPH=∠ABO，可以表示出MH，這樣就可以得出結(jié)論．
（3）如圖2，作NK⊥AB于K，O′R⊥B′D于R，通過證明△MQB′∽△B′KN，利用（2）的結(jié)論可以求出∠MB′N=90°時t的值，然后就可以表示出ON，MN的值，計算比較O′R與MN的大小從而可以確定B′D與⊙O′的位置關(guān)系．
解答：解：（1）把（6，0）代入y=-x+b，得
0=-8+b，
∴b=8，
∴y=-x+8，當(dāng)x=0時，y=8，
∴B（0，8）；

（2）∵OB=8，OA=6，由勾股定理得AB=10．
∵PQ⊥AB，BP=5t，
∴sin∠OBA=，
即=，
∴PQ=3t，
∴BQ=4t，
∵QM=2PM，
∴PM=t，QM=2t．
如圖1，過點P作PH⊥MN于H，
∵M(jìn)N⊥OA，
∴MN∥OB，
∴∠MPH=∠0BA，
∴sin∠MPH=，
∴，
∴MH=t，
∴ON=PH=t，
∵HN=PO=8-5t，
∴y=MN=MH+HN=8-5t+t，
∴y=-t+8（0＜t≤）；

（3）如圖2，過點N作NK⊥AB于K，
∵PQ⊥AB，
∴∠MQB′=∠NKB′=90°．
根據(jù)題意B′點在直線AB 上，且BQ=B′Q=4t，
∵∠MB′N=90°，
∴∠MB′Q+∠NB′K=90°．
∵∠NB′K+∠B′NK=90°，
∴∠MB′Q=∠B′NK，
∴△MB′Q∽△B′NK，
∴．
∴ON=t，AN=6-t，NK=（6-t）×=-，AK=（6-t）×=-t，
∴=，
解得t=．
過點O′作O′R⊥B′D于R，當(dāng)t=時．
ON=，MN=，的值，計算比較O′R=MD=OD-ON=OA-AD-ON=6-AB′-=，MN=，
∴O′R＜MN，
∴直線B′D于⊙O′相交．

點評：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了點的坐標(biāo)，直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的運用．